《2026年学易优高考二轮总复习物理》

[例 4]（2025·海南卷，14）足够长的传送带固定在竖直平面内，半径$R = 0.5m$，圆心角$\theta = 53^{\circ}$的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，工件$A$从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与$B$碰成一整体，$B$随后滑上传送带，已知$m_{A}=4kg$，$m_{B}=1kg$，$A$、$B$可视为质点，$AB$与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中，因摩擦生热$Q = 2.5J$，忽略轨道及平台的摩擦，$g = 10m/s^{2}$。

(1)$A$滑到圆弧最低点时受的支持力；
(2)$A$与$B$整个碰撞过程中损失的机械能；
(3) 传送带的速度大小。

答案： 例4 答案：
(1)$72\ N$，方向竖直向上
(2)$1.6\ J$
(3)$0.6\ m/s$或$2.6\ m/s$
解析：
(1)A从开始到滑到圆弧最低点间，根据机械能守恒$m_{A}g(R - R\cos 53^{\circ})=\frac{1}{2}m_{A}v_{0}^{2}$
解得$v_{0}=2\ m/s$
在最低点根据牛顿第二定律$F_{N}-m_{A}g=\frac{m_{A}v_{0}^{2}}{R}$
解得$F_{N}=72\ N$，方向竖直向上。
(2)根据题意A、B碰后成一整体，根据动量守恒$m_{A}v_{0}=(m_{A}+m_{B})v_{共}$
解得$v_{共}=1.6\ m/s$
故A与B整个碰撞过程中损失的机械能为$\Delta E=\frac{1}{2}m_{A}v_{0}^{2}-\frac{1}{2}(m_{A}+m_{B})v_{共}^{2}=1.6\ J$。
(3)第一种情况，当传送带速度$v$小于$v_{共}$时，A、B滑上传送带后先减速后匀速运动，设A、B与传送带间的动摩擦因数为$\mu$，对A、B根据牛顿第二定律$(m_{A}+m_{B})g=(m_{A}+m_{B})a$设经过时间$t_{1}$后A、B与传送带共速，可得$v = v_{共}-at_{1}$
该段时间内A、B运动的位移为$x_{1}=\frac{v + v_{共}}{2}t_{1}$
传送带运动的位移为$x_{2}=vt_{1}$
故可得$Q=\mu(m_{A}+m_{B})g·(x_{1}-x_{2})$
联立解得$v = 0.6\ m/s$，另一解大于$v_{共}$舍去；
第二种情况，当传送带速度$v$大于$v_{共}$时，A、B滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时间$t_{2}$后A、B与传送带共速，同理可得$v = v_{共}+at_{2}$
该段时间内A、B运动的位移为$x_{1}'=\frac{v + v_{共}}{2}t_{2}$
传送带运动的位移为$x_{2}'=vt_{2}$
故可得$Q=\mu(m_{A}+m_{B})g·(x_{2}'-x_{1}')$
解得$v = 2.6\ m/s$，另一解小于$v_{共}$舍去。

1.(多选)(2025·辽宁沈阳二模)如图，水平传送带一直以速度$v_{1}=6m/s$向右匀速运动，小物体$P$、$Q$质量均为$1kg$，由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连，$t = 0$时刻$P$在传送带左端具有向右的速度$v_{2}=10m/s$，$P$与定滑轮间的绳水平，不计定滑轮质量和摩擦。小物体$P$与传送带之间动摩擦因数$\mu = 0.6$，传送带长度$L = 15m$，绳足够长，$g = 10m/s^{2}$。关于小物体$P$的描述正确的是(ACD)

A.小物体$P$从传送带左端离开传送带
B.小物体$P$在传送带上运动的全过程中，加速度一直不变
C.小物体$P$向右运动的过程中在传送带上留下的划痕长度为$9m$
D.小物体$P$向右运动的过程中和传送带之间摩擦产生的热量是$60J$

答案： 1 答案：ACD
解析：共速前，对小物体$P$、$Q$分析，由牛顿第二定律得$mg+\mu mg = 2ma_{1}$，解得$a_{1}=8\ m/s^{2}$，小物体$P$与传动带共速时的位移为$x_{1}=\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a_{1}}=4\ m$，共速后，小物体$P$做匀减速运动，根据牛顿第二定律得$mg-\mu mg = 2ma_{2}$，解得$a_{2}=2\ m/s^{2}$，小物体$P$减速至零的位移为$x_{2}=\frac{v_{2}^{2}}{2a_{2}}=9\ m$，由于$x_{1}+x_{2}＜L$，小物体$P$从传送带左端离开传送带，A正确；由上面的计算可知，小物体$P$在传送带上运动的过程中，加速度有两个值，B错误；$t = 0$时刻到与传送带共速，划痕长度为$l_{1}=x_{1}-v_{1}×\frac{v_{2}-v_{1}}{a_{1}}=1\ m$，共速至$P$减速为零的过程，划痕长度为$l_{2}=v_{1}×\frac{v_{2}}{a_{2}}-x_{2}=9\ m$，考虑到划痕重复，小物体$P$向右运动的过程中在传送带上留下的划痕长度为$\Delta l = l_{2}=9\ m$，C正确；小物体$P$向右运动的过程中和传送带之间摩擦产生的热量是$Q=\mu mg(l_{1}+l_{2})=60\ J$，D正确。

2.（2025·河北 4 月联考）如图所示，倾斜传送带的倾角$\theta = 37^{\circ}$、长度为$L = 15.2m$，传送带以$v_{0}=7m/s$的速率顺时针转动；光滑水平面上有一块长木板，其上表面粗糙，且与传送带底端$B$以及右侧固定半圆形光滑轨道槽的最低点$C$等高，槽的半径$R = 0.72m$。在传送带上端$A$无初速地释放一个质量为$m = 1kg$的黑色小滑块（可视为质点），它与传送带之间的动摩擦因数为$\mu_{1}=0.5$，黑色小滑块在传送带上经过后留下黑色痕迹，在底端$B$滑上紧靠传送带的长木板的上表面，长木板质量为$M = 3kg$，不考虑小滑块冲上长木板时碰撞带来的机械能损失，小滑块滑至长木板右端时，长木板恰好撞上半圆槽，长木板瞬间停止运动，小滑块进入槽内且恰好能通过半圆轨道最高点$D$。已知小滑块与长木板间的动摩擦因数为$\mu_{2}=0.4$，$\sin 37^{\circ}=0.6$，$\cos 37^{\circ}=0.8$，重力加速度$g$取$10m/s^{2}$，求：

(1) 小滑块从$A$到$B$的时间$t$；
(2) 小滑块从$A$到$B$的过程中传送带上形成痕迹的长度$\Delta x$；
(3) 长木板的长度$s$（计算结果保留$2$位有效数字）。

答案： 2 答案：
(1)$2.2\ s$
(2)$2.45\ m$
(3)$7.3\ m$
解析：
(1)由牛顿第二定律得$mg\sin\theta+\mu_{1}mg\cos\theta = ma_{1}$，解得$a_{1}=g\sin 37^{\circ}+\mu_{1}g\cos 37^{\circ}=10\ m/s^{2}$，
滑块与传送带共速的时间$t_{1}=\frac{v_{0}}{a_{1}}=\frac{7}{10}s = 0.7\ s$，
共速时滑块的位移$x_{1}=\frac{v_{0}^{2}}{2a_{1}}=\frac{49}{2×10}m = 2.45\ m$，
由题知$\mu_{1}＜\tan\theta$，此后小滑块继续沿传送带向下加速，由牛顿第二定律得$mg\sin\theta-\mu_{1}mg\cos\theta = ma_{2}$，解得$a_{2}=g\sin 37^{\circ}-\mu_{1}g\cos 37^{\circ}=2\ m/s^{2}$，
由运动学知识得$L - x_{1}=v_{0}t_{2}+\frac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2}$，解得$t_{2}=1.5\ s$，
小滑块从$A$到$B$的时间$t=t_{1}+t_{2}=0.7\ s + 1.5\ s = 2.2\ s$。
(2)小滑块从$A$到$B$的过程中，小滑块先相对传送带向后运动，相对位移为$\Delta x_{1}=v_{0}t_{1}-x_{1}=7×0.7\ m - 2.45\ m = 2.45\ m$，再相对传送带向前运动，相对位移为$\Delta x_{2}=(L - x_{1})-v_{0}t_{2}=12.75\ m - 10.5\ m = 2.25\ m＜\Delta x_{1}$，小滑块从$A$到$B$的过程中传送带上形成痕迹的长度$\Delta x=\Delta x_{1}=2.45\ m$。
(3)小滑块进入槽内且恰好能通过半圆轨道最高点$D$，则由牛顿第二定律得$mg=\frac{mv_{D}^{2}}{R}$，
小滑块从$C$到$D$过程由动能定理得$-mg·2R=\frac{1}{2}mv_{D}^{2}-\frac{1}{2}mv_{C}^{2}$，
联立解得$v_{C}=\sqrt{5gR}=6\ m/s$，
小滑块在底端$B$滑上长木板的速度$v_{B}=v_{C}+a_{2}t_{2}=7\ m/s + 2×1.5\ m/s = 10\ m/s$，
小滑块与长木板相互作用过程，由系统动量守恒有$mv_{B}=mv_{C}+Mu$，
解得$v=\frac{4}{3}m/s$，
此过程由能量守恒定律得$\mu_{2}mgs=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{1}{2}mv_{C}^{2}-\frac{1}{2}Mu^{2}$，
解得长木板的长度$s=\frac{22}{3}m\approx7.3\ m$。