《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以$3$余$2$），五五数之剩三（除以$5$余$3$），问物几何？”现将$1$到$2023$共$2023$个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列$\{ a_{n}\}$，则该数列共有（ ）

A.$132$项
B.$133$项
C.$134$项
D.$135$项

答案： 13.B

14. （2024·福建漳州高二期中）在等差数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{2}+a_{5}=24$，$a_{17}=66$.
（1）求$a_{2024}$.
（2）$2024$是否为数列$\{ a_{n}\}$中的项？若是，为第几项？

答案： 14.（1）$a_{2024}=12150$；（2）$2024$是数列$\{ a_{n}\}$中的项，为第$337$项。

15. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=\dfrac{6a_{n}-4}{a_{n}+2}$，且$a_{1}=3(n\in\mathbf{N}_{+})$.
（1）证明：数列$\left\{\dfrac{1}{a_{n}-2}\right\}$是等差数列；
（2）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 15.（1）证明：$\frac{1}{a_{n+1}-2}-\frac{1}{a_{n}-2}=\frac{1}{2}$，为常数，所以数列$\left\{\dfrac{1}{a_{n}-2}\right\}$是等差数列；（2）$a_{n}=\frac{2n+3}{n+1}$。

16. 数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=(n^{2}+n-\lambda)a_{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$，$\lambda$是常数.
（1）当$a_{2}=-1$时，求$\lambda$及$a_{3}$的值；
（2）请判断是否存在实数$\lambda$，使得数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，并说明理由.

答案： 16.（1）$\lambda=3$，$a_{3}=-3$；（2）不存在实数$\lambda$，使得数列$\{ a_{n}\}$为等差数列。理由：假设存在实数$\lambda$，使得数列$\{ a_{n}\}$为等差数列，则$2a_{2}=a_{1}+a_{3}$，即$2(2-\lambda)=1+(-3)$，解得$\lambda=3$，此时$a_{2}=-1$，$a_{3}=-3$，$a_{4}=(12-\lambda)a_{3}=(12-3)×(-3)=-27$，$a_{4}-a_{3}=-24$，$a_{3}-a_{2}=-2$，公差不相等，矛盾，故不存在。