《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. （2025·河北沧州高二检测）记 $ S_{n} $ 是公差不为 $ 0 $ 的等差数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和，且 $ 2S_{6}=a_{1}a_{2} $，$ a_{6}=a_{4}+a_{5} $.
（1）求 $ \{ a_{n}\} $ 的通项公式；
（2）求使 $ S_{n}＞a_{n} $ 成立的 $ n $ 的最小值.

答案： （1）$a_n=3n-9$；（2）7。

14. 已知一个等差数列的项数为奇数，且所有奇数项的和为 $ 290 $，所有偶数项的和为 $ 261 $，求此数列的中间项以及项数.

答案： 中间项为29，项数为19。

15. （2025·湖南长沙高二期中）若数列 $ \{ a_{n}\} $ 满足 $ \frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}}=d $（$ n\in \mathbf{N}^{*} $，$ d $ 为常数），则称数列 $ \{ a_{n}\} $ 为“调和数列”，已知正项数列 $ \left\{ \frac{1}{b_{n}} \right\} $ 为“调和数列”，且 $ b_{1}+b_{2}+·s +b_{2022}=20220 $，则 $ b_{1}b_{2022} $ 的最大值是______.

答案： $100$

16. （2024·山东青岛高二期中）已知 $ S_{n} $ 是数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和，且 $ S_{n}=14n - n^{2} $.
（1）求 $ \{ a_{n}\} $ 的通项公式；
（2）若 $ T_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+·s +|a_{n}| $，求 $ T_{n} $.

答案： （1）
当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=14×1 - 1^{2}=13$。
当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=14n - n^{2}-[14(n - 1)-(n - 1)^{2}]=15 - 2n$。
当$n = 1$时，$15 - 2×1 = 13 = a_{1}$，所以$a_{n}=15 - 2n$，$n\in N^*$。
（2）
由$a_{n}=15 - 2n\geqslant0$，得$n\leqslant\frac{15}{2}=7.5$。
当$n\leqslant7$时，$T_{n}=\sum_{i = 1}^{n}|a_{i}|=\sum_{i = 1}^{n}(15 - 2i)=15n-2×\frac{n(n + 1)}{2}=14n - n^{2}$（用$S_{n}$表达式也可得）。
当$n\geqslant8$时，$T_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+·s+|a_{7}|+|a_{8}|+·s+|a_{n}|=(a_{1}+a_{2}+·s+a_{7})-(a_{8}+·s+a_{n})=S_{7}-(S_{n}-S_{7})=2S_{7}-S_{n}=n^{2}-14n + 98$。
所以$T_{n}=\begin{cases}14n - n^{2},n\leqslant7\\n^{2}-14n + 98,n\geqslant8\end{cases}$，$n\in N^*$。