《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. （10 分）（2025·河北石家庄高二期末）已知函数 $ f(x)=\mathrm{e}^x $。
（1）求 $ f(x) $ 在点 $ (2,\mathrm{e}^2) $ 处的切线方程；
（2）若 $ f(x) $ 的一条切线 $ l $ 恰好经过坐标原点，求切线 $ l $ 的方程。

答案： （1）
$f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x$，
$f^{\prime}(2)=\mathrm{e}^2$，
切线方程为$y - \mathrm{e}^2 = \mathrm{e}^2(x - 2)$，
即$y = \mathrm{e}^2x - 2\mathrm{e}^2 + \mathrm{e}^2$，
即$y = \mathrm{e}^2x - \mathrm{e}^2$。
（2）
设切点为$(x_0, \mathrm{e}^{x_0})$，
则切线斜率为$k = \mathrm{e}^{x_0}$，
切线方程为$y - \mathrm{e}^{x_0} = \mathrm{e}^{x_0}(x - x_0)$。
因为切线过原点，
所以$0 - \mathrm{e}^{x_0} = \mathrm{e}^{x_0}(0 - x_0)$，
即$- \mathrm{e}^{x_0} = -x_0\mathrm{e}^{x_0}$，
因为$\mathrm{e}^{x_0} \neq 0$，
所以$x_0 = 1$，
则$k = \mathrm{e}$，
切线方程为$y = \mathrm{e}x$。

14. （13 分）某食品厂生产某种食品的总成本 $ C $（单位：元）和总收入 $ R $（单位：元）都是日产量 $ x $（单位：$ \mathrm{kg} $）的函数，分别为 $ C = 100 + 2x + 0.02x^2 $，$ R = 7x + 0.01x^2 $，试求边际利润函数以及当日产量分别为 $ 200 \mathrm{kg} $，$ 250 \mathrm{kg} $，$ 300 \mathrm{kg} $ 时的边际利润，并说明其经济意义（总利润 $ y $ 关于产量 $ x $ 的函数 $ y = f(x) $ 的导函数称为边际利润函数）。

答案： 解：
1. 总利润函数
总利润 $ y = R - C $，代入已知函数得：
$ y = (7x + 0.01x^2) - (100 + 2x + 0.02x^2) = -0.01x^2 + 5x - 100 $
2. 边际利润函数
边际利润函数为总利润函数的导函数 $ y' $：
$ y' = (-0.01x^2 + 5x - 100)' = -0.02x + 5 $
3. 特定产量下的边际利润
当 $ x = 200 \, kg $ 时：
$ y'|_{x=200} = -0.02 × 200 + 5 = 1 \, 元/kg $
当 $ x = 250 \, kg $ 时：
$ y'|_{x=250} = -0.02 × 250 + 5 = 0 \, 元/kg $
当 $ x = 300 \, kg $ 时：
$ y'|_{x=300} = -0.02 × 300 + 5 = -1 \, 元/kg $
4. 经济意义
当产量为 $ 200 \, kg $ 时，边际利润为 $ 1 \, 元/kg $，表示此时多生产 $ 1 \, kg $ 产品，利润增加 $ 1 \, 元 $；
当产量为 $ 250 \, kg $ 时，边际利润为 $ 0 \, 元/kg $，表示此时多生产 $ 1 \, kg $ 产品，利润不变；
当产量为 $ 300 \, kg $ 时，边际利润为 $ -1 \, 元/kg $，表示此时多生产 $ 1 \, kg $ 产品，利润减少 $ 1 \, 元 $。
结论：
边际利润函数为 $ y' = -0.02x + 5 $；日产量为 $ 200 \, kg $、$ 250 \, kg $、$ 300 \, kg $ 时的边际利润分别为 $ 1 \, 元/kg $、$ 0 \, 元/kg $、$ -1 \, 元/kg $。