《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

12. 若函数 $ f(x) = x^3 + x^2 - ax - 4 $ 在区间 $ (-1,1) $ 上恰有一个极值点，则实数 $ a $ 的取值范围是______.

答案： 12. $1,5)$

13. 已知函数 $ f(x) = (x^2 - ax - a)e^x $ 的图象在点 $ (0, f(0)) $ 处的切线平行于直线 $ 2x + y + 3 = 0 $.
(1)求 $ a $ 的值；
(2)求 $ f(x) $ 的极值.

答案： 13.
(1) $a = 2$；
(2) 极大值为 $f(-2) = (4 + 4)e^{-2} = \dfrac{8}{e^2}$，极小值为 $f(2) = (4 - 4 - 2)e^2 = -2e^2$

14. 已知函数 $ f(x) = (x^2 + ax + a)e^x (a ＜ 2, x \in \mathbf{R}) $.
(1)当 $ a = 1 $ 时，求 $ f(x) $ 的单调区间.
(2)是否存在实数 $ a $，使 $ f(x) $ 的极大值为 $ 3 $? 若存在，求出 $ a $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 14.
(1) 单调递增区间是 $(-\infty, -3)$ 和 $(0, +\infty)$，单调递减区间是 $(-3, 0)$；
(2) 存在，$a = -1$

15. 若函数 $ f(x) = x^2e^x $ 在区间 $ (a, a + 1) $ 上不存在极值点，则实数 $ a $ 的取值范围是______.

答案： 15. $(-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$

16. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 $ y = x^x (x ＞ 0) $，我们可以作变形：$ y = x^x = (e^{\ln x})^x = e^{x · \ln x} = e^t (t = x\ln x) $，所以 $ y = x^x (x ＞ 0) $ 可看作是由函数 $ y = e^t $ 和 $ t = x\ln x $ 复合而成的，即 $ y = x^x (x ＞ 0) $ 为初等函数.
(1)直接写出初等函数 $ y = x^x (x ＞ 0) $ 的极值点；
(2)求初等函数 $ h(x) = x^{\frac{1}{x}} (x ＞ 0) $ 的极值.

答案： 16.
(1) $x = \dfrac{1}{e}$；
(2) 极大值为 $h(e) = e^{\frac{1}{e}}$，无极小值