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2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版
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14. （$13$分）（$2025$·天津和平高二期末）已知数列$\{a_n\}(n \in N^*)$的前$n$项和为$S_n$，$S_3 = 14$，$S_{n + 1} = 2S_n + 2$。
（1）证明：$\{S_n + 2\}$是等比数列$(n \in N^*)$；
（2）求数列$\{a_n\}$的通项公式；
（3）若$b_n = \frac{\log_2 a_n}{a_n}(n \in N^*)$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，证明：$T_n ＜ 2(n \in N^*)$。
（1）证明：$\{S_n + 2\}$是等比数列$(n \in N^*)$；
（2）求数列$\{a_n\}$的通项公式；
（3）若$b_n = \frac{\log_2 a_n}{a_n}(n \in N^*)$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，证明：$T_n ＜ 2(n \in N^*)$。
答案：
14.
(1)证明见解析；
(2)$a_n = 2^n$；
(3)证明见解析
(1)证明见解析；
(2)$a_n = 2^n$；
(3)证明见解析
15. （$15$分）在各项均为正数的数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，对任意$n \in N^*$都有$a_{n + 1}^2 - a_n^2 = 2(a_{n + 1} + a_n)$。
（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式及前$n$项和$S_n$。
（2）设$b_n = \frac{a_n}{a_n + t}$，试问：是否存在正整数$t$，$m$，使得$b_1,b_2,b_m(m \geq 3)$成等差数列？若存在，求出所有满足要求的$t$，$m$；若不存在，请说明理由。
（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式及前$n$项和$S_n$。
（2）设$b_n = \frac{a_n}{a_n + t}$，试问：是否存在正整数$t$，$m$，使得$b_1,b_2,b_m(m \geq 3)$成等差数列？若存在，求出所有满足要求的$t$，$m$；若不存在，请说明理由。
答案：
15.
(1)$a_n = 2n - 1$，$S_n = n^2$；
(2)存在，当$t = 1$时，$m = 3$；当$t = 2$时，$m = 4$；当$t = 3$时，$m = 6$；当$t = 4$时，$m = 12$；当$t = 5$时，$m = 30$
(1)$a_n = 2n - 1$，$S_n = n^2$；
(2)存在，当$t = 1$时，$m = 3$；当$t = 2$时，$m = 4$；当$t = 3$时，$m = 6$；当$t = 4$时，$m = 12$；当$t = 5$时，$m = 30$
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