《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{3a_{n} + 1}$，则$a_{34}$等于（ ）

A.$\frac{34}{103}$
B.$\frac{1}{104}$
C.$\frac{1}{100}$
D.$100$

答案： 1.C

2. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n + 1}=2a_{n} + 1$，$a_{1}=1$，则$a_{6}$等于（ ）

A.$32$
B.$62$
C.$63$
D.$64$

答案： 2.A

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足：$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=2a_{n} + n$，则$a_{4}$等于（ ）

A.$17$
B.$18$
C.$19$
D.$20$

答案： 3.C

4. （2025·广西阶段练习）若数列$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$满足：$a_{1}=a_{2}=1$，$b_{n}=a_{n + 1}-n + 1$，$b_{n + 1}=a_{n}-n + 3$，则数列$\{ a_{n} + b_{n}\}$的前$50$项和为（ ）

A.$2500$
B.$2525$
C.$2550$
D.$3000$

答案： C

5. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，其中$a_{1}=1$，且$S_{n + 1}-2S_{n}=2n + 1$，则$\frac{S_{7}}{a_{5}}$等于（ ）

A.$\frac{369}{46}$
B.$\frac{361}{46}$
C.$\frac{367}{46}$
D.$\frac{365}{46}$

答案： C

6. 已知数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=3$，且满足$a_{n + 1}=\frac{2n - 1}{2n - 3}a_{n} + 2n - 1(n\in\mathbf{N}^{*})$，则$\{ a_{n}\}$中最小的一项是（ ）

A.$a_{2}$
B.$a_{3}$
C.$a_{4}$
D.$a_{5}$

答案： B

7. 已知数列$\{ a_{n}\}$为等比数列，$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$a_{n}=\frac{1}{2}S_{n} + \frac{3}{2}$，则$S_{4}$的值为（ ）

A.$9$
B.$21$
C.$45$
D.$93$

答案： C

8. （多选）已知数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=1$，前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{n + 1}=4a_{n} + 3^{n}$，则（ ）

A.$a_{2}=7$
B.$\{ S_{n}\}$是递增数列
C.$\{ a_{n} + 3^{n}\}$是等差数列
D.$a_{10}=2^{20}-3^{10}$

答案： ABD

9. （多选）已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$2a_{n + 1}=a_{n}-3a_{n}a_{n + 1}(n\in\mathbf{N}_{+})$，则下列说法中，正确的是（ ）

A.$\left\{\frac{1}{a_{n}} + 3\right\}$为等差数列
B.$\{ a_{n}\}$为递减数列
C.$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{1}{2^{n - 1}-3}$
D.$\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$的前$n$项和$T_{n}=2^{n + 2}-3n - 4$

答案： BD

10. 在数列$\{ a_{n}\}$与$\{ b_{n}\}$中，已知$a_{1}=b_{1}=2$，$a_{n + 1}+b_{n + 1}=2(a_{n} + b_{n})$，$a_{n + 1}b_{n + 1}=2a_{n}b_{n}$，则$\frac{1}{a_{2023}} + \frac{1}{b_{2023}}=$______.

答案： 1

11. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足：$a_{1}=1$，$na_{n + 1}-(n + 1)· a_{n}=n(n + 1)$.若$b_{n}=\frac{n}{(n + 1)a_{n}}$，则数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=$______.

答案： $\frac{n}{n + 1}$

12. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}-a_{n + 1}=3a_{n}a_{n + 1}(n\in\mathbf{N}^{*})$，数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$，且$b_{1}+b_{2}+·s + b_{9}=90$，则$a_{n}=$______.

答案： $\frac{1}{3n - 5}$