《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 求下列函数的导数.
（1）$ y = \cos \dfrac{\pi}{10} $；
（2）$ y = \log_5 x $；
（3）$ y = \dfrac{1}{x^4} $；
（4）$ y = 5^x $.

答案： 13.
(1)$y' = 0$；
(2)$y'=\frac{1}{x\ln5}$；
(3)$y'=-4x^{-5}$；
(4)$y'=5^{x}\ln5$

14. 已知点 $ A \left( \dfrac{1}{2}, -1 \right) $，$ B(2,1) $，函数 $ f(x) = \log_2 x $.
（1）过坐标原点 $ O $ 作曲线 $ y = f(x) $ 的切线，求切线方程.
（2）在曲线 $ y = f(x) \left( \dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 2 \right) $ 上是否存在点 $ P $，使得过点 $ P $ 的切线与直线 $ AB $ 平行？若存在，求出点 $ P $ 的横坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 14.
(1)y=$\frac{1}{e\ln2}x$；
(2)存在，$x=\frac{\ln2}{2}$

15. 过点 $ P(0, -1) $ 作曲线 $ C: y = \ln x $ 的切线，切点为 $ A_1 $，设 $ A_1 $ 在 $ y $ 轴上的投影是点 $ B_1 $，过点 $ B_1 $ 再作曲线 $ C $ 的切线，切点为 $ A_2 $，设 $ A_2 $ 在 $ y $ 轴上的投影是点 $ B_2 $，依此进行下去，得到第 $ n(n \in \mathbf{N}^*) $ 个切点 $ A_n $，则点 $ A_n $ 的坐标为______.

答案： 15.$(e^{n - 1},n - 1)$

16. 已知 $ P $ 为曲线 $ y = \ln x $ 上的一动点，$ Q $ 为直线 $ y = x + 3 $ 上的一动点，当 $ |PQ| $ 最小时，求 $ P $ 的坐标及 $ |PQ| $ 的最小值.

答案： 16.点P的坐标为$(1,0)$，$|PQ|$的最小值为$\frac{|1 - 0 + 3|}{\sqrt{1 + 1}}=2\sqrt{2}$