《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 已知函数 $ f(x) = 2x^{3} - mx^{2} + 2(m ＞ 0) $ 的单调递减区间为 $ (a, b) $，若 $ b - a \leq 2 $，则 $ m $ 的最大值是______。

答案： 6

14. 设函数 $ f(x) = \frac{x}{e^{kx}}(k \neq 0) $。
（1）求函数 $ f(x) $ 的单调区间；
（2）若函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-1, 1) $ 内单调递增，求 $ k $ 的取值范围。

答案： （1）$f(x)=\frac{x}{e^{kx}}$，$f^\prime(x)=\frac{1· e^{kx}-x· ke^{kx}}{(e^{kx})^2}=\frac{1 - kx}{e^{kx}}$。
令$f^\prime(x)=0$，即$\frac{1 - kx}{e^{kx}} = 0$，因为$e^{kx}\gt0$恒成立，所以$1 - kx = 0$，解得$x=\frac{1}{k}$。
当$k\gt0$时：
若$x\lt\frac{1}{k}$，则$1 - kx\gt0$，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{k})$上单调递增。
若$x\gt\frac{1}{k}$，则$1 - kx\lt0$，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$在$(\frac{1}{k},+\infty)$上单调递减。
当$k\lt0$时：
若$x\lt\frac{1}{k}$，则$1 - kx\lt0$，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{k})$上单调递减。
若$x\gt\frac{1}{k}$，则$1 - kx\gt0$，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$在$(\frac{1}{k},+\infty)$上单调递增。
（2）因为函数$f(x)$在区间$(-1,1)$内单调递增，所以$f^\prime(x)\geq0$在$(-1,1)$内恒成立，即$\frac{1 - kx}{e^{kx}}\geq0$在$(-1,1)$内恒成立，因为$e^{kx}\gt0$，所以$1 - kx\geq0$在$(-1,1)$内恒成立，即$kx\leq1$在$(-1,1)$内恒成立。
当$k\gt0$时，$y = kx$在$(-1,1)$上，$x = 1$时$kx$取最大值，所以$k×1\leq1$，得$k\leq1$，结合$k\gt0$，所以$0\lt k\leq1$。
当$k\lt0$时，$y = kx$在$(-1,1)$上，$x = -1$时$kx$取最大值，所以$k×(-1)\leq1$，得$k\geq - 1$，结合$k\lt0$，所以$-1\leq k\lt0$。
综上，$k$的取值范围是$[-1,0)\cup(0,1]$。

15. 已知 $ f(x) = x^{2} + x + a\ln x(a \in \mathbf{R}) $。讨论 $ f(x) $ 的单调性。

答案： 1. 定义域：$ (0, +\infty) $。
2. 求导：$ f'(x) = 2x + 1 + \frac{a}{x} = \frac{2x^2 + x + a}{x} $，$ x ＞ 0 $。分母$ x ＞ 0 $，导函数符号由分子$ g(x) = 2x^2 + x + a $决定。
3. $ g(x) = 2x^2 + x + a $开口向上，对称轴$ x = -\frac{1}{4} $，在$ (0, +\infty) $单调递增。
4. 分类讨论：
当$ a \geq 0 $时，$ g(x) ＞ 0 $在$ (0, +\infty) $恒成立，$ f'(x) ＞ 0 $，$ f(x) $在$ (0, +\infty) $单调递增。
当$ a ＜ 0 $时，$ g(x) $在$ (0, +\infty) $有唯一零点$ x_0 = \frac{-1 + \sqrt{1 - 8a}}{4} $。
$ x \in (0, x_0) $时，$ g(x) ＜ 0 $，$ f'(x) ＜ 0 $，$ f(x) $单调递减；
$ x \in (x_0, +\infty) $时，$ g(x) ＞ 0 $，$ f'(x) ＞ 0 $，$ f(x) $单调递增。
结论：当$ a \geq 0 $时，$ f(x) $在$ (0, +\infty) $单调递增；当$ a ＜ 0 $时，$ f(x) $在$ (0, \frac{-1 + \sqrt{1 - 8a}}{4}) $单调递减，在$ (\frac{-1 + \sqrt{1 - 8a}}{4}, +\infty) $单调递增。

16. （2025·陕西西安高二期末）已知函数 $ f(x) = x\ln x $。
（1）求曲线 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的切线方程；
（2）讨论函数 $ f(x) $ 在区间 $ (0, t(t ＞ 0) $ 上的单调性。

答案： （1）首先求$f(x)$的导数：
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x\ln x) = 1 · \ln x + x · \frac{1}{x} = \ln x + 1$，
在$x = 1$处，$f(1) = 1 · \ln 1 = 0$，$f^{\prime}(1) = \ln 1 + 1 = 1$，
所以，切线方程为$y - f(1) = f^{\prime}(1)(x - 1)$，即$y - 0 = 1 · (x - 1)$，
即切线方程为$x - y - 1 = 0$。
（2）$f^{\prime}(x) = \ln x + 1$，
当$f^{\prime}(x) ＞ 0$时，$\ln x + 1 ＞ 0$，即$\ln x ＞ -1$，解得$x ＞ \frac{1}{e}$，
当$f^{\prime}(x) ＜ 0$时，$\ln x + 1 ＜ 0$，即$\ln x ＜ -1$，解得$0 ＜ x ＜ \frac{1}{e}$，
当$0 ＜ t \leq \frac{1}{e}$时，在区间$(0,t)$上，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，所以$f(x)$单调递减；
当$t ＞ \frac{1}{e}$时，在区间$(0,\frac{1}{e})$上，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，$f(x)$单调递减；在区间$(\frac{1}{e},t)$上，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$单调递增。
综上，当$0＜t\leq \frac{1}{e}$时，$f(x)$在$(0,t)$上单调递减；当$t ＞ \frac{1}{e}$时，$f(x)$在$(0,\frac{1}{e})$上单调递减，在$(\frac{1}{e},t)$上单调递增。