《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 如图所示为函数 $ y = f(x) $ 的图象，则函数 $ y = f(x) $ 在 $[1, 3]$ 上的平均变化率是（ ）


A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

答案： 1.D

2. 已知 $ f(x) = x^2 - 3x $，则 $ f'(0) $ 等于（ ）

A.$ \Delta x - 3 $
B.$ (\Delta x)^2 - 3\Delta x $
C.$ -3 $
D.$ 0 $

答案： 2.C

3. 设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 附近有定义，且有 $ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = a\Delta x + b(\Delta x)^2 $（$ a $，$ b $ 为常数），则（ ）

A.$ f'(x) = a $
B.$ f'(x) = b $
C.$ f'(x_0) = a $
D.$ f'(x_0) = b $

答案： 3.C

4. （2024·河南驻马店高二期末）定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ y = f(x) $ 在区间 $[2, 2 + \Delta x](\Delta x ＞ 0)$ 内的平均变化率为 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = (\Delta x)^2 + 2\Delta x + 1 $，其中 $ \Delta y = f(2 + \Delta x) - f(2) $，则函数 $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的导数 $ f'(2) $ 为（ ）

A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 3 $
D.$ 9 $

答案： B

5. 某公司的盈利 $ y $（单位：元）和时间 $ x $（单位：天）之间的函数关系是 $ y = f(x) $，若 $ \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} ＞ 0 $（$ x_1 ＞ x_0 \geqslant 0 $）恒成立，且 $ \frac{f(10) - f(0)}{10} = 10 $，$ \frac{f(20) - f(10)}{10} = 1 $，则这些数据说明后 10 天与前 10 天比较（ ）

A.公司已经亏损
B.公司的盈利在增加，增加的幅度变大
C.公司在亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利在增加，增加的幅度变小

答案： D

6. 已知直线 $ l $ 经过 $ (-1, 0) $，$ (0, 1) $ 两点，且与曲线 $ y = f(x) $ 相切于点 $ A(2, 3) $，则 $ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} $ 的值为（ ）


A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： C

7. 设 $ f(x) $ 为可导函数，且满足 $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(1) - f(1 - 2x)}{2x} = -1 $，则 $ f'(1) $ 为（ ）

A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

答案： B

8. （多选）（2025·长沙长郡中学高二月考）已知函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示，则下列关于函数 $ y = f(x) $ 在区间 $[1, 2]$，$[2, 3]$，$[3, 4]$，$[4, 7]$ 上的平均变化率的说法，正确的是（ ）


A.在区间 $[1, 2]$ 上的平均变化率最小
B.在区间 $[2, 3]$ 上的平均变化率大于 $ 0 $
C.在区间 $[3, 4]$ 上的平均变化率比 $[2, 3]$ 上的大
D.在区间 $[4, 7]$ 上的平均变化率最大

答案： B

9. （多选）设 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处可导，下列式子中，与 $ f'(x_0) $ 相等的是（ ）

A.$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - 2\Delta x)}{2\Delta x} $
B.$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{\Delta x} $
C.$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + 2\Delta x) - f(x_0 + \Delta x)}{\Delta x} $
D.$ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - 2\Delta x)}{\Delta x} $

答案： A（和 C（按照部分教师或教材可能只选最直接看出的，则此处理解为题目要求选择所有正确的，则AC均正确，但若按照最直接看出则只有A，根据题目描述“与 $f'(x_0)$ 相等的是”应包含所有相等的，所以应包含AC） （由于是多选，且C经过化简也正确，所以最终选择 AC）

10. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 $ s $（单位：$ m $）与时间 $ t $（单位：$ s $）之间的函数关系式为 $ s = \frac{1}{8}t^2 $，则 $ t = 2 s $ 时，此木块在水平方向上的瞬时速度为______ $ m/s $。

答案： 4.$\frac{1}{2}$