《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 某质点沿直线运动，其位移 $ y $（单位：$ \mathrm{m} $）与时间 $ t $（单位：$ \mathrm{s} $）之间的关系为 $ y(t)=t^2 + 2t $，则该质点在 $ 1\leqslant t\leqslant 3 $ 这段时间内的平均速度为（ ）

A.$ 6 \mathrm{m}/\mathrm{s} $
B.$ 7 \mathrm{m}/\mathrm{s} $
C.$ 8 \mathrm{m}/\mathrm{s} $
D.$ 9 \mathrm{m}/\mathrm{s} $

答案： 随堂巩固 1.C

2. 已知函数 $ f(x) $ 在 $ x = x_0 $ 处可导，且 $ \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 - 3\Delta x) - f(x_0)}{2\Delta x}=3 $，则 $ f'(x_0) $ 等于（ ）

A.$-3$
B.$-2$
C.$-\frac{3}{2}$
D.$2$

答案： 随堂巩固 2.D

3. （2025·广东阶段练习）曲线 $ y=(x^2 - 2)\mathrm{e}^x $ 在 $ x = 0 $ 处的切线方程为（ ）

A.$ x - 2y - 4 = 0 $
B.$ x + 2y + 4 = 0 $
C.$ 2x - y - 2 = 0 $
D.$ 2x + y + 2 = 0 $

答案： 随堂巩固 3.B

4. 经典力学的观点认为，当物体进行简谐运动时，其所受的合力与位移成正比。运用经典力学的理论进一步推演可知，简谐运动的位移 $ x $ 是关于时间 $ t $ 的正弦函数，若某质点做简谐运动，其位移 $ x $（单位：$ \mathrm{m} $）关于时间 $ t $（单位：$ \mathrm{s} $）的关系式为 $ x = 2\sin\left(\frac{\pi}{6}t + \frac{\pi}{3}\right) $，则该质点的初速度大小为（ ）

A.$ \frac{1}{6} \mathrm{m}/\mathrm{s} $
B.$ \frac{\pi}{6} \mathrm{m}/\mathrm{s} $
C.$ \frac{1}{3} \mathrm{m}/\mathrm{s} $
D.$ \frac{\pi}{3} \mathrm{m}/\mathrm{s} $

答案： 随堂巩固 4.2

5. 设曲线 $ y = x^{n + 1}(n \in \mathbf{N}^*) $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线与 $ x $ 轴的交点的横坐标为 $ x_n $，则 $ x_1 · x_2 · ·s · x_n $ 的值为（ ）

A.$ \frac{1}{n} $
B.$ \frac{1}{n + 1} $
C.$ \frac{n}{n + 1} $
D.$ 1 $

答案： B

6. 若直线 $ l $ 是曲线 $ y = \ln x - 1 $ 与 $ y = \ln(x - 1) $ 的公切线，则直线 $ l $ 的方程为（ ）

A.$ y = x - 2 $
B.$ y = x $
C.$ y = x + 1 $
D.$ y = \mathrm{e}x $

答案： A

7. 已知曲线 $ y = f(x) $ 在 $ (0,0) $ 处的切线与曲线 $ y = xf(x) $ 在 $ (2,6) $ 处的切线重合，则（ ）

A.$ f(2)=3 $
B.$ f'(2)=3 $
C.$ f'(0)=3 $
D.曲线 $ y = f(x) $ 在 $ (2,3) $ 处的切线方程为 $ y = 3 $

答案： ACD

8. 过点 $ A(1,2) $ 且与函数 $ f(x)=x^3 + x $ 相切的直线为（ ）

A.$ 2x + y - 4 = 0 $
B.$ 3x - y - 1 = 0 $
C.$ 4x - y - 2 = 0 $
D.$ 7x - 4y + 1 = 0 $

答案： CD

9. 已知函数 $ y = f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处的切线方程为 $ y = 4x - 3 $，则 $ 2f(2) + f'(2)= $______。

答案： 14（（直接填写数字结果即可，因为题目非选择题））。

10. 已知曲线 $ f(x)=\begin{cases}\ln x, & x ＞ 1, \\ -\ln x, & 0 ＜ x ＜ 1,\end{cases} $ 过曲线上 $ A $，$ B $ 两点分别作曲线的切线交于点 $ P $，且 $ AP \perp BP $。记 $ A $，$ B $ 两点的横坐标分别为 $ x_1 $，$ x_2 $，则 $ x_1x_2 = $______。

答案： $1$

11. 若曲线 $ y = \mathrm{e}^{x + m} + n $ 的切线为 $ y = x - 1 $，则 $ m + n $ 的取值为______。

答案： $-2$

12. 已知函数 $ y = f(x) $ 的导函数为 $ y = f'(x) $，定义方程 $ f(x)=\frac{1}{2}f'(x) $ 的实数根 $ x_0 $ 叫做函数 $ y = f(x) $ 的“新不动点”。设 $ f(x)=\tan x $，$ x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) $，则 $ y = f(x) $ 在区间 $ \left(0,\frac{\pi}{2}\right) $ 上的“新不动点”为______。

答案： $\frac{\pi}{4}$