《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. （1）已知$\{ a_{n}\}$为等比数列，且$a_{5} = 8$，$a_{7} = 2$，该数列的各项都为正数，求$a_{n}$；
（2）若等比数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1} = \frac{9}{8}$，末项$a_{n} = \frac{1}{3}$，公比$q = \frac{2}{3}$，求项数$n$；
（3）在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n + 4} = a_{4}$，求公比$q$.

答案： 13.（1）$a_n=2^{9 - 2n}$；（2）$n=4$；（3）$q=1$或$q=-1$

14. 已知各项都为正数的数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 1$，$a_{n}^{2} - (2a_{n + 1} - 1)a_{n} - 2a_{n + 1} = 0$.
（1）求$a_{2}$，$a_{3}$；
（2）证明$\{ a_{n}\}$是等比数列，并求$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 14.（1）$a_2=\frac{1}{2}$，$a_3=\frac{1}{4}$；（2）证明见解析，$a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}$

15. （2025·湖北武汉模拟）已知等差数列$\{ a_{n}\}$的公差$d = 1$，且$a_{3}$，$a_{5} + 1$，$2a_{6}$成等比数列，则数列$\{ (-1)^{n + 1}a_{n}\}$的前$2025$项和为（ ）

A.$-1013$
B.$-505$
C.$505$
D.$1013$

答案： 15.D

16. 如图所示的数阵由数字$1$和$2$构成，将上一行的数字$1$变成$1$个$2$，数字$2$变成$2$个$1$，得到下一行的数据，形成数阵，设$a_{n}$是第$n$行数字$1$的个数，$b_{n}$是第$n$行数字$2$的个数，则$a_{6} + a_{7} =$______，$a_{2n} + b_{2n + 1} =$______.
第一行 $1$ $2$
第二行 $2$ $1$ $1$
第三行 $1$ $1$ $2$ $2$
第四行 $2$ $2$ $1$ $1$ $1$ $1$
……

答案： 16.24，$2^{2n - 1}$