《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 求下列函数的导数。
(1) $y = x^{4}-2x^{2}-3x + 3$；
(2) $y=\frac{x + 3}{x^{2}+3}$；
(3) $y=(x + 1)(x + 2)(x + 3)$；
(4) $y = x\tan x$。

答案： 13.
(1)$y'=4x^{3}-4x - 3$
(2)$y'=\frac{-x^{2}-6x + 3}{(x^{2}+3)^{2}}$
(3)$y'=3x^{2}+12x + 11$
(4)$y'=\tan x+\frac{x}{\cos^{2}x}$

14. 已知函数 $f(x)=ax^{2}+bx + 3(a\neq0)$，其导函数 $f'(x)=2x - 8$。
(1) 求 $a$，$b$ 的值；
(2) 设函数 $g(x)=e^{x}\sin x + f(x)$，求曲线 $g(x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程。

答案： 14.
(1)$a=1$，$b=-8$
(2)$y = x + 3$

15. 给出定义：设 $f'(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，$f''(x)$ 是 $f'(x)$ 的导函数，若方程 $f''(x)=0$ 有实数解 $x = x_{0}$，则称点 $(x_{0},f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的“拐点”。经研究发现，所有的三次函数 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d(a\neq0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $f(x)$ 图象的对称中心。若 $f(x)=x^{3}-3x^{2}$，则 $f(\frac{1}{2025})+f(\frac{2}{2025})+f(\frac{3}{2025})+·s + f(\frac{4048}{2025})+f(\frac{4049}{2025})=$______。

答案： 15. $-8098$

16. 已知函数 $f(x)=\frac{ax}{x^{2}+b}$，且 $f(x)$ 的图象在 $x = 1$ 处与直线 $y = 2$ 相切。
(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；
(2) 若 $P(x_{0},y_{0})$ 为 $f(x)$ 图象上的任意一点，直线 $l$ 与 $f(x)$ 的图象切于点 $P$，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围。

答案： 16.
(1)$f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}$
(2)$[-2,2]$