《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知函数 $ f(x)=\sin 2x+\cos 2x $，那么 $ f'(\frac{\pi}{2}) $ 为（ ）

A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： A

2. 设 $ f(x)=\ln (2x - 1) $，若 $ f'(x_0)=1 $，则 $ x_0 $ 的值为（ ）

A.$\frac{\mathrm{e}+1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$1$
D.$\frac{3}{4}$

答案： B

3. 某市在一次降雨过程中，降雨量 $ y $（单位：$ \mathrm{mm} $）与时间 $ t $（单位：$ \mathrm{min} $）的函数关系可近似地表示为 $ y = f(t)=\sqrt{10t} $，则时刻 $ t = 40 \mathrm{min} $ 时的降雨强度为（ ）

A.$ 20 \mathrm{mm} $
B.$ 400 \mathrm{mm} $
C.$ \frac{1}{2} \mathrm{mm}/\mathrm{min} $
D.$ \frac{1}{4} \mathrm{mm}/\mathrm{min} $

答案： D

4. 已知 $ \mathrm{e} $ 是自然对数的底数，则函数 $ f(x)=\mathrm{e}^{2x}-1 $ 的图象在原点处的切线方程是（ ）

A.$ y = x $
B.$ y = 2x $
C.$ y = \mathrm{e}x $
D.$ y = \mathrm{e}^2x $

答案： B

5. 设球的半径是关于时间 $ t $ 的函数 $ R(t) $。若球的体积以均匀速度 $ C $ 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）

A.成正比，比例系数为 $ C $
B.成正比，比例系数为 $ 2C $
C.成反比，比例系数为 $ C $
D.成反比，比例系数为 $ 2C $

答案： D

6. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯 $ 137 $ 的衰变过程中，其含量 $ M $（单位：太贝克）与时间 $ t $（单位：年）满足的函数关系式是 $ M(t)=600× 2^{-\frac{t}{30}} $，则铯 $ 137 $ 的含量 $ M $ 在 $ t = 30 $ 时的瞬时变化率为（ ）

A.$-10\ln 2 $ 太贝克/年
B.$ 300\ln 2 $ 太贝克/年
C.$-300\ln 2 $ 太贝克/年
D.$ 300 $ 太贝克/年

答案： A

7. 若存在过点 $ (0,0) $ 的直线与曲线 $ y = x^2 + x $ 和曲线 $ y = \mathrm{e}^{x - 1} + ax $ 都相切，则 $ a $ 等于（ ）

A.$ 0 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ \mathrm{e} $

答案： A

8. （多选）下列求函数的导数中，正确的是（ ）

A.$ [\ln(2x + 1)]'=\frac{2}{2x + 1} $
B.$ (\mathrm{e}^{5x - 4})'=\mathrm{e}^{5x - 4} $
C.$ (\sqrt{2x - 1})'=\frac{1}{\sqrt{2x - 1}} $
D.$ \left[\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)\right]'=-2\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) $

答案： AC

9. （多选）给出定义：若函数 $ f(x) $ 在 $ D $ 上可导，即 $ f'(x) $ 存在，且导函数 $ f'(x) $ 在 $ D $ 上也可导，则称 $ f(x) $ 在 $ D $ 上存在二阶导函数，记 $ f''(x)=[f'(x)]' $，若 $ f''(x)＜0 $ 在 $ D $ 上恒成立，则称 $ f(x) $ 在 $ D $ 上为凸函数。下列函数中，在 $ \left(0,\frac{\pi}{2}\right) $ 内是凸函数的为（ ）

A.$ f(x)=\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) $
B.$ f(x)=\ln(x - 2) $
C.$ f(x)=x^3 + 2x - 1 $
D.$ f(x)=x\mathrm{e}^{-x} $

答案： AD

10. 质点 $ M $ 按规律 $ s(t)=(2t + 1)^2 $ 做直线运动（位移单位：$ \mathrm{m} $，时间单位：$ \mathrm{s} $），则质点 $ M $ 在 $ t = 2 $ 时的瞬时速度为______ $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $。

答案： 4.2

11. 已知函数 $ f(x)=\cos\left(\omega x + \frac{\pi}{3}\right) $ 的图象在点 $ \left(\frac{\pi}{2},0\right) $ 处的切线斜率为 $ k $，若 $ |k|＜1 $，则 $ \omega = $______。

答案： $\frac{1}{3}$