《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

12. 我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正 $ n $ 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 $ \pi $ 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一。借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算。设 $ f(x)=\mathrm{e}^{x^2} $，则 $ f'(x)= $______，其在点 $ (0,1) $ 处的切线方程为______。

答案： $f^{\prime}(x) = 2xe^{x^2}$；切线方程为$y = 1$。

13. 一种质量为 $ 1 \mathrm{kg} $ 的物质，在化学分解中，经过时间 $ t $（单位：$ \mathrm{min} $）后，所剩的质量 $ m $（单位：$ \mathrm{kg} $）与时间 $ t $ 的关系可表示为 $ m = \mathrm{e}^{-2t} $。
（1）求当 $ t $ 从 $ 1 $ 变到 $ 2 $ 时，质量 $ m $ 关于 $ t $ 的平均变化率，并解释它的实际意义；
（2）求 $ m'(2) $，并解释它的实际意义。

答案： （1）平均变化率为：
$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{m(2) - m(1)}{2 - 1} = \frac{\mathrm{e}^{-4} - \mathrm{e}^{-2}}{1} = \mathrm{e}^{-4} - \mathrm{e}^{-2} \approx -0.1170 \mathrm{kg/min}$ 。
实际意义：当 $t$ 从 $1 \mathrm{min}$ 变到 $2 \mathrm{min}$ 时，
该物质质量的平均变化率为$-0.1170 \mathrm{kg/min}$，即质量平均每分钟减少约 $0.1170 \mathrm{kg}$。
（2）$m^{\prime}(t) = \frac{d}{dt}(\mathrm{e}^{-2t}) = -2\mathrm{e}^{-2t}$，
代入 $t = 2$，
得$m^{\prime}(2) = -2\mathrm{e}^{-4} \approx -0.0366 \mathrm{kg/min}$，
实际意义：当 $t = 2 \mathrm{min}$ 时，
该物质质量的瞬时变化率为$-0.0366 \mathrm{kg/min}$，即此时质量约以每分钟 $0.0366 \mathrm{kg}$ 的速度减少。

14. 设函数 $ f(x)=a\mathrm{e}^x\ln x + \frac{b\mathrm{e}^{x - 1}}{x} $。
（1）求导函数 $ f'(x) $；
（2）若曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (1,f(1)) $ 处的切线方程为 $ y = \mathrm{e}(x - 1) + 2 $，求 $ a $，$ b $ 的值。

答案： （1）首先求导函数 $f^{\prime}(x)$。
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(a\mathrm{e}^x\ln x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{b\mathrm{e}^{x - 1}}{x}\right)$
$= a\mathrm{e}^x\ln x + \frac{a\mathrm{e}^x}{x} + \frac{b\mathrm{e}^{x - 1}x - b\mathrm{e}^{x - 1}}{x^2}$
$= a\mathrm{e}^x\ln x + \frac{a\mathrm{e}^x}{x} + \frac{b\mathrm{e}^{x - 1}(x - 1)}{x^2}$
$= \mathrm{e}^x \left( a\ln x + \frac{a}{x} \right) + \frac{b\mathrm{e}^{x - 1}(x - 1)}{x^2}$
（2）根据切线方程 $y = \mathrm{e}(x - 1) + 2$，
当 $x = 1$ 时，$y = 2$，所以 $f(1) = 2$。
$f(1) = a\mathrm{e}^1\ln 1 + \frac{b\mathrm{e}^{1 - 1}}{1} = 0 + b = 2$
解得 $b = 2$。
切线斜率等于函数在该点的导数，即 $f^{\prime}(1) = \mathrm{e}$。
$f^{\prime}(1) = \mathrm{e}^1 (a\ln 1 + \frac{a}{1}) + \frac{2\mathrm{e}^{1 - 1}(1 - 1)}{1^2} = \mathrm{e}a$
由于 $f^{\prime}(1) = \mathrm{e}$，解得 $a = 1$。
故$a = 1$，$b = 2$。

15. （2024·重庆西南大学附中高二月考）阅读材料：求函数 $ y = \mathrm{e}^x $ 的导函数。
解：$ \because y = \mathrm{e}^x $，$ \therefore x = \ln y $，$ \therefore (x)' = (\ln y)' $，即 $ 1 = \frac{1}{y} · y' $，$ \therefore y' = y = \mathrm{e}^x $。
借助上述思路，曲线 $ y = (2x - 1)^{x + 1} $，$ x \in \left(\frac{1}{2},+\infty\right) $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线方程为______。

答案： $y = 4x - 3$（题目未给选项，按照要求直接填写结果）。

16. 证明：“可导函数 $ y = f(x) $ 的图象关于直线 $ x = a $ 对称”的充要条件是“导函数 $ y = f'(x) $ 的图象关于点 $ (a,0) $ 中心对称”。

答案： 必要性证明：
若函数$ y = f(x) $的图象关于直线$ x = a $对称，则对任意$ x $，有$ f(2a - x) = f(x) $。
两边对$ x $求导，左边由复合函数求导法则得：$\frac{d}{dx}[f(2a - x)] = f'(2a - x) · (-1)$；右边为$ f'(x) $。
因此：$-f'(2a - x) = f'(x)$，即$ f'(2a - x) = -f'(x) $。
由中心对称定义，导函数$ y = f'(x) $的图象关于点$ (a,0) $中心对称。
充分性证明：
若导函数$ y = f'(x) $的图象关于点$ (a,0) $中心对称，则对任意$ x $，有$ f'(2a - x) = -f'(x) $。
设$ F(x) = f(2a - x) - f(x) $，求导得：$ F'(x) = f'(2a - x) · (-1) - f'(x) $。
代入$ f'(2a - x) = -f'(x) $，得$ F'(x) = -(-f'(x)) - f'(x) = 0 $，故$ F(x) $为常数函数，设$ F(x) = C $。
令$ x = a $，则$ F(a) = f(2a - a) - f(a) = f(a) - f(a) = 0 $，即$ C = 0 $。
因此$ f(2a - x) = f(x) $，由轴对称定义，函数$ y = f(x) $的图象关于直线$ x = a $对称。
综上，“可导函数$ y = f(x) $的图象关于直线$ x = a $对称”的充要条件是“导函数$ y = f'(x) $的图象关于点$ (a,0) $中心对称”。