《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知 $ y = \sqrt{2024} $，则 $ y' $ 等于（ ）

A.$ \dfrac{1}{2\sqrt{2024}} $
B.$ -\dfrac{1}{2\sqrt{2024}} $
C.$ \dfrac{2024}{\sqrt{2024}} $
D.$ 0 $

答案： 1.D

2. 函数 $ y = x^3 $ 在点 $ (2,8) $ 处的切线方程为（ ）

A.$ y = 12x - 16 $
B.$ y = 12x + 16 $
C.$ y = -12x - 16 $
D.$ y = -12x + 16 $

答案： 2.A

3. （2025·广东珠海高二期末）下列导数运算中，正确的是（ ）

A.$ (\cos x)' = \sin x $
B.$ (\log_2 x)' = \dfrac{1}{x · \ln 2} $
C.$ (2^x)' = 2^x $
D.$ \left( \dfrac{1}{x} \right)' = \dfrac{1}{x^2} $

答案： 3.B

4. 如果质点 $ M $ 按照规律 $ s = t^2 $ 运动，那么 $ M $ 在 $ t = 2 $ 时的瞬时速度为（ ）

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 8 $

答案： 4.B

5. 设正弦曲线 $ y = \sin x $ 上一点 $ P $，以 $ P $ 为切点的切线为直线 $ l $，则直线 $ l $ 的倾斜角 $ \alpha $ 的取值范围是（ ）

A.$ \left[ 0, \dfrac{\pi}{4} \right] \cup \left[ \dfrac{3\pi}{4}, \pi \right) $
B.$ 0, \pi) $
C.$ \left( \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4} \right) $
D.$ \left[ 0, \dfrac{\pi}{4} \right) \cup \left( \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{4} \right] $

答案： 5.A

6. 记函数 $ y = f^{(2)}(x) $ 表示对函数 $ y = f(x) $ 连续两次求导，即先对 $ y = f(x) $ 求导，得 $ y = f'(x) $，再对 $ y = f'(x) $ 求导，得 $ y = f^{(2)}(x) $. 下列函数中，满足 $ f^{(2)}(x) = f(x) $ 的是（ ）

A.$ f(x) = x $
B.$ f(x) = \sin x $
C.$ f(x) = e^x $
D.$ f(x) = \ln x $

答案： 6.C

7. 已知直线 $ y = ax $ 是曲线 $ y = \ln x $ 的切线，则实数 $ a $ 等于（ ）

A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{1}{2e} $
C.$ \dfrac{1}{e} $
D.$ \dfrac{1}{e^2} $

答案： 7.C

8. （多选）设函数 $ f(x) = -\cos x $ 的图象在点 $ P $ 处的切线为 $ l $，则直线 $ l $ 的斜率可能为（ ）

A.$ \dfrac{1}{3} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ 1 $
D.$ \dfrac{3}{2} $

答案： 8.ABC

9. （多选）已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^3, & x ＜ 0, \\ \ln x, & 0 ＜ x ＜ 1, \end{cases} $ 若 $ f'(a) = 12 $，则实数 $ a $ 的值可以是（ ）

A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ \dfrac{1}{12} $
D.$ 4 $

答案： 9.B

10. 质点的运动方程是 $ s = \sin t $，则质点在 $ t = \dfrac{\pi}{3} $ 时的速度为______，质点运动的加速度为______.

答案： 10.$\frac{1}{2}$;$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

11. 已知曲线 $ y = \ln x $ 的一条切线方程为 $ x - y + c = 0 $，则 $ c $ 的值为______.

答案： 11.$-1$

12. 若正三角形的内切圆的半径为 $ r $，则该正三角形的周长 $ C(r) = 6\sqrt{3}r $，面积 $ S(r) = 3\sqrt{3}r^2 $，发现 $ S'(r) = C(r) $. 相应地，若正四面体的内切球的半径为 $ r $，则该正四面体的表面积 $ S(r) = 24\sqrt{3}r^2 $. 请用类比推理的方法猜测该正四面体的体积：$ V(r) = $______（写出关于 $ r $ 的表达式）.

答案： 12.$8\sqrt{3}r^{3}$