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2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
7. （2025·安徽铜陵高二检测）已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}=-n^{2}+8n - 2$，则下列说法中，正确的是（ ）
A.$a_{n}=9 - 2n$
B.$\{ a_{n}\}$是递减数列
C.$\{ a_{n}\}$有最大项
D.$S_{n}$有最大值
A.$a_{n}=9 - 2n$
B.$\{ a_{n}\}$是递减数列
C.$\{ a_{n}\}$有最大项
D.$S_{n}$有最大值
答案：
CD
8. （2025·云南高二阶段练习）已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{13}＞S_{14}＞S_{12}$，则下列说法中，正确的是（ ）
A.$\{ a_{n}\}$是递增数列
B.当$a_{n}＞0$时，$n$的最大值是$13$
C.数列$\{ S_{n}\}$中的最大项为$S_{13}$
D.当$S_{n}＞0$时，$n$的最大值是$27$
A.$\{ a_{n}\}$是递增数列
B.当$a_{n}＞0$时，$n$的最大值是$13$
C.数列$\{ S_{n}\}$中的最大项为$S_{13}$
D.当$S_{n}＞0$时，$n$的最大值是$27$
答案：
BC
9. （2025·云南高二检测）设等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{10}-S_{3}=35$，$a_{3}+a_{10}=7$，则数列$\{ a_{n}\}$的公差为________.
答案：
3
10. （2025·山东菏泽高二检测）已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=4$，$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n 为奇数,\\a_{n}+3,n 为偶数,\end{cases}$$b_{n}=a_{2n}$，则$b_{2024}=$__________.
答案：
8097
11. 写出一个公差为 $ 2 $ 且“前 $ 3 $ 项之和小于第 $ 3 $ 项”的等差数列：$a_{n}=$________.
答案：
$2n - 4$（答案不唯一，满足$a_1 ＜ -1$即可）
12. （2025·山东济宁高二检测）记等差数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$，$T_{n}$.若$\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{2n + 1}{n + 3}$，则$\frac{a_{5}}{b_{8}}=$__________.
答案：
13. （10分）（2024·安徽阜阳三中高二月考）已知数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，且$a_{2}=-25$，$2a_{3}+a_{5}=-50$.
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，求$S_{n}$的最小值及取得最小值时$n$的值.
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，求$S_{n}$的最小值及取得最小值时$n$的值.
答案：
（1）$a_n = 5n - 35$；（2）最小值为$-105$，$n = 6$或$7$。
14. （13分）（2025·陕西咸阳高二检测）已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n}=2a_{n - 1}(n\geqslant 2,n\in \mathbf{N}^{*})$，设$b_{n}=\log_{2}a_{n}$.
（1）求$b_{1}$，$b_{2}$，$b_{3}$；
（2）判断数列$\{ b_{n}\}$是否为等差数列，并说明理由；
（3）求$\{ b_{n}\}$的通项公式.并求其前$n$项和$S_{n}$.
（1）求$b_{1}$，$b_{2}$，$b_{3}$；
（2）判断数列$\{ b_{n}\}$是否为等差数列，并说明理由；
（3）求$\{ b_{n}\}$的通项公式.并求其前$n$项和$S_{n}$.
答案：
（1）由题可知，数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_n = 2a_{n-1}(n\geq2,n\in\mathbf{N}^*)$，则：
$a_2 = 2a_1 = 2×1 = 2$，
$a_3 = 2a_2 = 2×2 = 4$。
又$b_n = \log_2a_n$，所以：
$b_1 = \log_2a_1 = \log_21 = 0$，
$b_2 = \log_2a_2 = \log_22 = 1$，
$b_3 = \log_2a_3 = \log_24 = 2$。
（2）数列$\{b_n\}$是等差数列。理由如下：
因为$a_n = 2a_{n-1}(n\geq2)$，所以$\log_2a_n = \log_2(2a_{n-1}) = \log_22 + \log_2a_{n-1} = 1 + \log_2a_{n-1}$，即$b_n = b_{n-1} + 1(n\geq2)$。
故$b_n - b_{n-1} = 1(n\geq2)$，由等差数列定义可知，$\{b_n\}$是首项为$b_1 = 0$，公差为$1$的等差数列。
（3）由（2）知，$\{b_n\}$是等差数列，首项$b_1 = 0$，公差$d = 1$，所以通项公式为$b_n = b_1 + (n - 1)d = 0 + (n - 1)×1 = n - 1$。
其前$n$项和$S_n = \frac{n(b_1 + b_n)}{2} = \frac{n(0 + n - 1)}{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$。
综上，（1）$b_1 = 0$，$b_2 = 1$，$b_3 = 2$；（2）$\{b_n\}$是等差数列；（3）$b_n = n - 1$，$S_n = \frac{n(n - 1)}{2}$。
$a_2 = 2a_1 = 2×1 = 2$，
$a_3 = 2a_2 = 2×2 = 4$。
又$b_n = \log_2a_n$，所以：
$b_1 = \log_2a_1 = \log_21 = 0$，
$b_2 = \log_2a_2 = \log_22 = 1$，
$b_3 = \log_2a_3 = \log_24 = 2$。
（2）数列$\{b_n\}$是等差数列。理由如下：
因为$a_n = 2a_{n-1}(n\geq2)$，所以$\log_2a_n = \log_2(2a_{n-1}) = \log_22 + \log_2a_{n-1} = 1 + \log_2a_{n-1}$，即$b_n = b_{n-1} + 1(n\geq2)$。
故$b_n - b_{n-1} = 1(n\geq2)$，由等差数列定义可知，$\{b_n\}$是首项为$b_1 = 0$，公差为$1$的等差数列。
（3）由（2）知，$\{b_n\}$是等差数列，首项$b_1 = 0$，公差$d = 1$，所以通项公式为$b_n = b_1 + (n - 1)d = 0 + (n - 1)×1 = n - 1$。
其前$n$项和$S_n = \frac{n(b_1 + b_n)}{2} = \frac{n(0 + n - 1)}{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$。
综上，（1）$b_1 = 0$，$b_2 = 1$，$b_3 = 2$；（2）$\{b_n\}$是等差数列；（3）$b_n = n - 1$，$S_n = \frac{n(n - 1)}{2}$。
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