《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$4S_{n}=(2n + 1)a_{n} + 1$.
（1）求$a_{1}$，$a_{2}$；
（2）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： （1）
对于$n = 1$：
已知$4S_{n}=(2n + 1)a_{n}+1$，当$n = 1$时，$4S_{1}=(2×1 + 1)a_{1}+1$，因为$S_{1}=a_{1}$，所以$4a_{1}=3a_{1}+1$，解得$a_{1}=1$。
对于$n = 2$：
当$n = 2$时，$4S_{2}=(2×2 + 1)a_{2}+1$，又$S_{2}=a_{1}+a_{2}=1 + a_{2}$，则$4(1 + a_{2})=5a_{2}+1$，$4+4a_{2}=5a_{2}+1$，解得$a_{2}=3$。
（2）
已知$4S_{n}=(2n + 1)a_{n}+1$ ①，当$n\geqslant2$时，$4S_{n - 1}=[2(n - 1)+1]a_{n - 1}+1=(2n - 1)a_{n - 1}+1$ ②。
由①$-$②得：
$4S_{n}-4S_{n - 1}=(2n + 1)a_{n}+1-[(2n - 1)a_{n - 1}+1]$
根据$S_{n}-S_{n - 1}=a_{n}(n\geqslant2)$，则$4a_{n}=(2n + 1)a_{n}-(2n - 1)a_{n - 1}$，
移项可得$(2n - 3)a_{n}=(1 - 2n)a_{n - 1}$，即$(2n - 3)a_{n}=-(2n - 1)a_{n - 1}$，所以$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{2n - 1}{2n - 3}(n\geqslant2)$。
则当$n\geqslant2$时，
$a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}·\frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}·s\frac{a_{2}}{a_{1}}· a_{1}$
$=\frac{2n - 1}{2n - 3}·\frac{2n - 3}{2n - 5}·s\frac{3}{1}×1$
$=2n - 1$。
当$n = 1$时，$a_{1}=1$，上式也成立，所以$a_{n}=2n - 1(n\in N^{*})$。
综上，答案为：（1）$a_{1}=1$，$a_{2}=3$；（2）$a_{n}=2n - 1(n\in N^{*})$。

14. 记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{1}=\frac{5}{3}$，$3a_{n + 1}=a_{n} + 2$.
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若$S_{2025}\lt m$，求整数$m$的最小值.

答案： （1）$a_n=1+2\left(\frac{1}{3}\right)^n$；（2）2026。

15. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$10^{n}a_{n}-9× 10^{n - 1}a_{n - 1}=9^{n}(n\geqslant 2)$，且$a_{1}=\frac{9}{5}$，则$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=$__________，$\{ a_{n}\}$中的最大项的值是______.

答案： $(n+1)\left(\frac{9}{10}\right)^{n}$；$\frac{387420489}{100000000}$

16. 已知数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$满足$b_{n + 1}=\frac{a_{n} + 4b_{n}}{5}$，$a_{n + 1}=\frac{5a_{n} + b_{n + 1}}{6}$，且$a_{1}=2$，$b_{1}=1$.
（1）求$a_{2}$，$b_{2}$的值，并证明数列$\{ a_{n}-b_{n}\}$是等比数列；
（2）求数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的通项公式.

答案： （1）$a_2=\frac{28}{15}$，$b_2=\frac{6}{5}$，证明见上；（2）$a_n=\frac{8}{5} + \frac{3}{5}\left(\frac{2}{3}\right)^n$，$b_n=\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$。