《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$，若该数列的前$k$项之和等于$9$，则$k$等于（ ）

A.$80$
B.$81$
C.$79$
D.$82$

答案： 1. B

2. 等比数列$1,a,a^2,a^3,·s(a \neq 0)$的前$n$项和$S_n$的值是（ ）

A.$\frac{1 - a^n}{1 - a}$
B.$\frac{1 - a^{n - 1}}{1 - a}$
C.$\begin{cases} \frac{1 - a^n}{1 - a}(a \neq 1), \\ n(a = 1) \end{cases}$
D.$\begin{cases} \frac{1 - a^{n - 1}}{1 - a}(a \neq 1), \\ n(a = 1) \end{cases}$

答案： 2. C

3. 已知$T_n$为数列$\{\frac{2^n + 1}{2^n}\}$的前$n$项和，若$m ＞ T_{10} + 1013$恒成立，则整数$m$的最小值是（ ）

A.$1026$
B.$1025$
C.$1024$
D.$1023$

答案： 3. B

4. 数列$\{a_n\}$的通项公式是$\begin{cases} a_n = \frac{n + 1}{2},n为奇数, \\ \frac{n}{2},n为偶数, \end{cases}$其前$n$项和为$S_n$，则$S_{30}$等于（ ）

A.$120$
B.$180$
C.$240$
D.$360$

答案： 4. C

5. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ·s + na_n = n(n \in N^*)$，若$b_n = a_n · a_{n + 2}$，则数列$\{b_n\}$的前$10$项和为（ ）

A.$\frac{11}{12}$
B.$\frac{11}{24}$
C.$\frac{175}{132}$
D.$\frac{175}{264}$

答案： 5. D

6. 在各项都为正数的等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 2$，且$a_1 · a_5 = 64$，则数列$\{\frac{a_n}{(a_n - 1)(a_{n + 1} - 1)}\}$的前$n$项和是（ ）

A.$1 - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}$
B.$1 - \frac{1}{2n + 1}$
C.$1 - \frac{1}{2^n + 1}$
D.$1 - \frac{1}{2^n - 1}$

答案： 6. A

7. 某汽车集团从$2023$年开始，大力发展新能源汽车，$2023$年全年生产新能源汽车$2000$辆，每辆车的利润为$1$万元。如果在后续的几年中，经过不断创新技术，后一年新能源汽车的产量都是前一年的$120\%$，每辆车的利润都比前一年增加$1000$元，则生产新能源汽车$6$年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去，参考数据：$1.2^6 \approx 2.99$）（ ）

A.$2.291$亿元
B.$2.59$亿元
C.$22.91$亿元
D.$25.9$亿元

答案： 7. A

8. （多选）（$2024$·河北沧州高二期中）在数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，$a_2 = 3$，对任意$n \in N^*$，都有$a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_n$，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，则$S_{2n}$的值可以为（ ）

A.$5$
B.$4$
C.$2$
D.$0$

答案： 8. CD

9. （多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：$1,1,2,3,5,·s$，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列$\{a_n\}$称为“斐波那契数列”，记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，则下列说法中，正确的是（ ）

A.$a_5 = 8$
B.$a_{n + 3} = 2a_{n + 1} + a_n$对$\forall n \in N^*$恒成立
C.$a_1 + a_3 + a_5 + ·s + a_{2021} = a_{2022}$
D.$\frac{a_1^2 + a_2^2 + ·s + a_{2021}^2}{a_{2021}} = a_{2022}$

答案： 9. BCD