《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，$ a_{1} = -1 $，$\frac{S_{14}}{S_{7}} = \frac{129}{128} $.
（1）求等比数列$\{ a_{n}\}$的公比 $ q $；
（2）证明：$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ·s + a_{n}^{2} ＜ \frac{4}{3} $.

答案： 13（1）$-\frac{1}{2}$；（2）证明见解析

14. 某地本年度旅游业收入估计为 $ 400 $ 万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加$\frac{1}{4}$.
（1）求 $ n $ 年内旅游业的总收入；
（2）试估计几年后旅游业的总收入超过 $ 8000 $ 万元（参考数据：$\lg 2 \approx 0.3010 $，$\lg 3 \approx 0.4771 $，$\lg 5 \approx 0.6990 $）.

答案： 14（1）$1600\left[ \left( \frac{5}{4}\right)^{n}-1\right]$万元；（2）8年

15. 某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第六名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元.

答案： 15 126

16. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，且 $ S_{n} = n - 5a_{n} - 85 $，$n \in \mathbf{N}^{*} $.
（1）证明：$\{ a_{n} - 1\}$是等比数列；
（2）求数列$\{ S_{n}\}$的通项公式，并求出 $ n $ 为何值时，$ S_{n} $ 取得最小值，并说明理由$\left(\log_{\frac{5}{6}}\frac{2}{25} \approx 13.9\right)$.

答案： 16（1）证明见解析；（2）$S_{n}=n + 75×\left( \frac{5}{6}\right)^{n}-90$，当$n=14$时，$S_{n}$取得最小值