《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = (-1)^{n - 1} · (4n - 3)$，则它的前$100$项之和$S_{100} =$______。

答案： 10. $-200$

11. $1 + 2x + 3x^2 + ·s + nx^{n - 1} =$__________（$x \neq 0$，且$x \neq 1$）。

答案： 11. $\frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}$

12. $\sin^2 1° + \sin^2 2° + \sin^2 3° + ·s + \sin^2 88° + \sin^2 89° =$________。

答案： 12. $\frac{89}{2}$

13. （$2024$·湖南邵阳邵东一中高二月考）已知数列$\{a_n\}$是等差数列，其前$n$项和为$S_n$，且$2a_2 + a_4 = 13$，$S_7 = 49$。
（1）求$\{a_n\}$的通项公式；
（2）设$b_n = a_n + 2^{a_n}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。

答案： 13.
(1)$a_n = n + 1$；
(2)$T_n = \frac{n(n + 3)}{2} + \frac{8(2^n - 1)}{7}$

14. （$2024$·山东青岛高二期中）记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$S_{n - 1} = \frac{n^2 - n}{2}(n \geq 2)$。
（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；
（2）设$b_n = \frac{a_n}{2^{n - 1}}$，证明：$b_1 + b_2 + ·s + b_n ＜ 4$。

答案： 14.
(1)$a_n = n$；
(2)证明见解析

15. 已知数列$\{a_n\}$是公差为$1$的等差数列，且$a_1 + a_2 = a_3$，数列$\{b_n\}$是等比数列，且$b_1 · b_2 = b_3$，$a_4 = 4b_1 - b_2$。
（1）求$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式；
（2）设$c_n = (-1)^{a_n}a_n^2(n \in N^*)$，求数列$\{c_n\}$的前$2n$项和$S_{2n}$；
（3）设$d_n = \begin{cases} \frac{15n + 32}{4n(n + 2)(b_n)^2},n为奇数, \\ a_n + b_n,n为偶数 \end{cases}(n \in N^*)$，求数列$\{d_n\}$的前$2n$项和$T_{2n}$。

答案： 15.
(1)$a_n = n$，$b_n = \frac{1}{2^n}$；
(2)$S_{2n} = 4n^2 + 2n$；
(3)$T_{2n} = \frac{175}{144} - \frac{1}{4(n + 1)} - \frac{1}{8(n + 2)} + n^2 + 3n + \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{4^n})$