《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 已知函数 $ y = f(x) $，若 $ f'(x_0) ＞ 0 $，则曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 处切线的倾斜角的范围是______。

答案： 10.$(0,\frac{\pi}{2})$

11. 已知 $ f(x) = mx^2 + n $，且 $ f(1) = -1 $，$ f(x) $ 的导函数 $ f'(x) = 4x $，则 $ m = $______，$ n = $______。

答案： 11.2；-3

12. 曲线 $ y = x^3 $ 在点 $ (a, a^3)(a \neq 0) $ 处的切线与 $ x $ 轴、直线 $ x = a $ 所围成的三角形的面积为 $ \frac{1}{6} $，则 $ a = $______。

答案： 12.$\pm1$

13. 在抛物线 $ y = x^2 $ 上，哪一点处的切线平行于直线 $ 4x - y + 1 = 0 $？哪一点处的切线垂直于这条直线？

答案： 13.解：设切点坐标为$(x_0,y_0)$，对$y=x^2$求导得$y'=2x$，则切线斜率$k=2x_0$。直线$4x - y + 1 = 0$的斜率为4。
若切线平行于该直线，则$2x_0=4$，解得$x_0=2$，$y_0=2^2=4$，故在点$(2,4)$处的切线平行于该直线。
若切线垂直于该直线，则切线斜率为$-\frac{1}{4}$，即$2x_0=-\frac{1}{4}$，解得$x_0=-\frac{1}{8}$，$y_0=(-\frac{1}{8})^2=\frac{1}{64}$，故在点$(-\frac{1}{8},\frac{1}{64})$处的切线垂直于该直线。

14. 已知直线 $ l_1 $ 为曲线 $ y = x^2 + x - 2 $ 在点 $ (1, 0) $ 处的切线，$ l_2 $ 为该曲线的另一条切线，且 $ l_1 \perp l_2 $。
（1）求直线 $ l_2 $ 的方程；
（2）求由直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 和 $ x $ 轴所围成的三角形的面积。

答案： 14.解：（1）对$y=x^2 + x - 2$求导得$y'=2x + 1$，则在点$(1,0)$处的切线斜率$k_1=2×1 + 1=3$，所以$l_1$的方程为$y - 0=3(x - 1)$，即$y=3x - 3$。
设$l_2$与曲线的切点为$(x_2,y_2)$，则切线斜率$k_2=2x_2 + 1$，因为$l_1 \perp l_2$，所以$k_1k_2=-1$，即$3(2x_2 + 1)=-1$，解得$x_2=-\frac{2}{3}$，$y_2=(-\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3}) - 2=\frac{4}{9}-\frac{6}{9}-\frac{18}{9}=-\frac{20}{9}$，所以$l_2$的方程为$y + \frac{20}{9}=-\frac{1}{3}(x + \frac{2}{3})$，化简得$3x + 9y + 22=0$。
（2）令$l_1$：$y=3x - 3$中$y=0$，得$x=1$；令$l_2$：$3x + 9y + 22=0$中$y=0$，得$x=-\frac{22}{3}$。联立$l_1$与$l_2$的方程：$\begin{cases}y=3x - 3\\3x + 9y + 22=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=-\frac{5}{2}\end{cases}$。所以所围成三角形的底为$1 - (-\frac{22}{3})=\frac{25}{3}$，高为$\vert -\frac{5}{2}\vert=\frac{5}{2}$，面积$S=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×\frac{5}{2}=\frac{125}{12}$。

15. 若 $ P $ 是抛物线 $ y = x^2 $ 上任意一点，则点 $ P $ 到直线 $ y = x - 2 $ 的最小距离为______。

答案： 15.$\frac{7\sqrt{2}}{8}$

16. 已知曲线 $ y = x^2 + 1 $，是否存在实数 $ a $，使得经过点 $ (1, a) $ 能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数 $ a $ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案： 16.解：存在。设切点为$(x_0,x_0^2 + 1)$，对$y=x^2 + 1$求导得$y'=2x$，则切线斜率为$2x_0$，切线方程为$y - (x_0^2 + 1)=2x_0(x - x_0)$，即$y=2x_0x - x_0^2 + 1$。因为切线过点$(1,a)$，所以$a=2x_0×1 - x_0^2 + 1$，即$x_0^2 - 2x_0 + (a - 1)=0$。要使经过点$(1,a)$能作出两条切线，则该方程有两个不同的实根，所以$\Delta=(-2)^2 - 4×1×(a - 1)=4 - 4a + 4=8 - 4a＞0$，解得$a＜2$，故实数$a$的取值范围是$(-\infty,2)$。