《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

11. 若可导函数 $ f(x) $ 的图象过原点，且满足 $ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x} = -1 $，则 $ f'(0) = $______。

答案： -1

12. 如图所示，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y = \sqrt{3}x $，$ y = 0 $，$ x = t(t ＞ 0) $ 围成的 $ \triangle OAB $ 的面积为 $ S(t) $，则 $ S(t) $ 在 $ t = 2 $ 处的瞬时变化率是______。

答案： $2\sqrt{3}$

13. 已知 $ f(x) = x^2 + 3 $。
(1) 求 $ y = f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的导数；
(2) 求 $ y = f(x) $ 在 $ x = a $ 处的导数。

答案： 例1 解：
(1)$\because \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=2(x_{0}+\Delta x)^{2}+1-2x_{0}^{2}-1=2\Delta x(2x_{0}+\Delta x),\therefore$函数$f(x)$在区间$[x_{0},x_{0}+\Delta x]$上的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x(2x_{0}+\Delta x)}{\Delta x}=4x_{0}+2\Delta x$.
(2)由
(1)可知$\frac{\Delta y}{\Delta x}=4x_{0}+2\Delta x$，当$x_{0}=2,\Delta x=0.01$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}=4×2+2×0.01=8.02$，
即函数$f(x)$在区间$[2,2.01]$上的平均变化率为$8.02$.
(3)$\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)=2(2+\Delta x)^{2}+1-(2×2^{2}+1)=2(\Delta x)^{2}+8\Delta x,\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=2\Delta x+8$，故函数$f(x)$在$x=2$处的瞬时变化率为$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(2\Delta x+8)=8$.

14. 服药后，人体血液中药物的质量浓度 $ y $（单位：$ \mug/mL $）与时间 $ t $（单位：$ min $）之间的函数关系式为 $ y = f(t) $，假设函数 $ y = f(t) $ 在 $ t = 10 $ 和 $ t = 100 $ 处的导数分别为 $ f'(10) = 1.5 $ 和 $ f'(100) = -0.6 $，试解释它们的实际意义。

答案： 例3
(1)解：设$x=1$时产量的改变量为$\Delta x$，则$\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{c(1+\Delta x)-c(1)}{\Delta x}=\frac{-2(\Delta x)^{2}+3\Delta x}{\Delta x}=-2\Delta x+3$，
$c'(1)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta c}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(-2\Delta x+3)=3$，
设$x=2$时产量的改变量为$\Delta x$，则$\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{c(2+\Delta x)-c(2)}{\Delta x}=\frac{-2\Delta x^{2}-\Delta x}{\Delta x}=-2\Delta x-1,c'(2)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta c}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(-2\Delta x-1)=-1$.
$c'(1)$的实际意义：当产量为$1000$台时，多生产$1$台旋切机可多获利$3$万元；
$c'(2)$的实际意义：当产量为$2000$台时，多生产$1$台旋切机少获利$1$万元.
(2)解：当$0\leq t＜3$时，$s(t)=3t^{2},\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=\frac{3(1+\Delta t)^{2}-3}{\Delta t}=6+3\Delta t,\therefore s'(1)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}(6+3\Delta t)=6$.
当$t\geq3$时，$s(t)=15+3(t-1)^{2},\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(4+\Delta t)-s(4)}{\Delta t}=\frac{15+3(4+\Delta t-1)^{2}-[15+3×(4-1)^{2}]}{\Delta t}=18+3\Delta t$，
$\therefore s'(4)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}(18+3\Delta t)=18$.
$s'(1)=6$说明在第$1$分钟时，该昆虫的爬行速度为$6$米/分，
$s'(4)=18$说明在第$4$分钟时，该昆虫的爬行速度为$18$米/分.

15. 已知二次函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $ 的导数为 $ f'(x) $，已知 $ f'(0) ＞ 0 $，且对于任意实数 $ x $，有 $ f(x) \geqslant 0 $，则 $ \frac{f(1)}{f'(0)} $ 的最小值是______。

答案： 2

16. 节日期间燃放烟花是中国的传统习俗之一，制造烟花时通常希望它在达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度 $ h $（单位：$ m $）与时间 $ t $（单位：$ s $）之间的关系式为 $ h(t) = -4.9t^2 + 14.7t + 18 $，求烟花在 $ t = 2 s $ 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况。

答案： 烟花在 $ t = 2 \, s $ 时的瞬时速度为 $-4.9 \, m/s$；烟花先上升至 $ t = 1.5 \, s $ 时的最高点，随后下降，$ t = 2 \, s $ 时以 $ 4.9 \, m/s $ 的速度竖直下落。