《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 在一个数列中，如果对任意 $n \in \mathbf{N}^*$，都有 $a_na_{n + 1}a_{n + 2} = k$（$k$ 为常数），那么这个数列叫做等积数列，$k$ 叫做这个数列的公积.已知数列 $\{a_n\}$ 是等积数列，且 $a_1 = 1,a_2 = 2$，公积为 $8$，则 $a_1 + a_2 + a_3 + ·s + a_{12} =$______.

答案： 13.28

14. 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩余马匹的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉……一直送到 $108$ 名好汉的最后一名，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？

答案： 14.老汉上山时一共带了2匹千里马.

15. 已知 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_n = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$.
（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n = 2^{a_n} - 5a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 中的最小项.

答案： 15.（1）$a_n = n$；（2）$-6$

16. （1）已知下面数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式.
①$S_n = 2n^2 - 3n$；
②$S_n = 3^n + 2$.
（2）在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = \frac{1}{2},a_n = \frac{n - 1}{n + 1}a_{n - 1}(n \geqslant 2)$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

答案： 16.（1）①$a_n = 4n - 5$；②$a_n = \begin{cases} 5, n = 1, \\ 2 × 3^{n - 1}, n \geq 2. \end{cases}$；（2）$a_n = \frac{1}{n(n + 1)}$