《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

13. 数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和记为$S_{n}$，已知$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac {n + 2}{n}S_{n}(n = 1,2,3,·s)$。证明：数列$\{ \frac {S_{n}}{n}\}$是等比数列。

答案： 13.证明：因为$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$，$a_{n+1}=\frac{n+2}{n}S_{n}$，所以$S_{n+1}-S_{n}=\frac{n+2}{n}S_{n}$，所以$S_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n}S_{n}$，所以$\frac{S_{n+1}}{n+1}=2·\frac{S_{n}}{n}$，又$\frac{S_{1}}{1}=1\neq0$，所以数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是首项为1，公比为2的等比数列.

14. 从盛满$a(a＞1)$升纯酒精的容器里倒出$1$升，然后添满水后摇匀，再倒出$1$升混合溶液，又用水添满后摇匀，如此继续下去，问：第$n$次操作后溶液的浓度是多少？当$a = 2$时，至少应操作几次后才能使酒精的浓度低于$10\%$？

答案： 14.解：设开始时溶液的浓度为1，第n次操作后溶液的浓度为$a_{n}$.则$a_{1}=1-\frac{1}{a}$，第n+1次操作后溶液的浓度为$a_{n+1}=a_{n}(1-\frac{1}{a})$，所以数列$\{a_{n}\}$是首项为$a_{1}=1-\frac{1}{a}$，公比为$q=1-\frac{1}{a}$的等比数列，所以$a_{n}=a_{1}q^{n-1}=(1-\frac{1}{a})^{n}$.当$a=2$时，由$a_{n}=(\frac{1}{2})^{n}＜10\%=\frac{1}{10}$，得$2^{n}＞10$，所以$n≥4$，即至少应操作4次后才能使酒精的浓度低于10%.

15. （多选）设$\{ a_{n}\}(n\in N^{*})$是各项为正数的等比数列，$q$是其公比，$K_{n}$是其前$n$项的积，且$K_{5}＜K_{6}$，$K_{6}=K_{7}＞K_{8}$，则下列说法中，正确的是（ ）

A.$0＜q＜1$
B.$a_{7}=1$
C.$K_{9}＞K_{5}$
D.$K_{6}$与$K_{7}$均为$K_{n}$的最大值

答案： 15.ABD

16. 已知数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$满足$a_{1}=\lambda$，$a_{n + 1}=\frac {2}{3}a_{n}+n - 4$，$b_{n}=(-1)^{n}(a_{n}-3n + 21)$，其中$\lambda$为实数，$n$为正整数。
（1）证明：对任意实数$\lambda$，数列$\{ a_{n}\}$不是等比数列；
（2）试判断$\{ b_{n}\}$是否为等比数列。

答案： 16.（1）证明：假设存在一个实数λ，使$\{a_{n}\}$是等比数列，则有$a_{2}^{2}=a_{1}a_{3}$.因为$a_{1}=\lambda$，$a_{2}=\frac{2}{3}\lambda-3$，$a_{3}=\frac{2}{3}(\frac{2}{3}\lambda-3)+(2)-4=\frac{4}{9}\lambda-4$，所以$(\frac{2}{3}\lambda-3)^{2}=\lambda(\frac{4}{9}\lambda-4)$，即$\frac{4}{9}\lambda^{2}-4\lambda+9=\frac{4}{9}\lambda^{2}-4\lambda$，即$9=0$，矛盾.所以$\{a_{n}\}$不是等比数列.
（2）解：因为$b_{n}=(-1)^{n}(a_{n}-3n+21)$，所以$b_{n+1}=(-1)^{n+1}[a_{n+1}-3(n+1)+21]=(-1)^{n+1}[\frac{2}{3}a_{n}+n-4-3n-3+21]=(-1)^{n+1}(\frac{2}{3}a_{n}-2n+14)=-\frac{2}{3}(-1)^{n}(a_{n}-3n+21)=-\frac{2}{3}b_{n}$.又$b_{1}=-(\lambda+18)$，所以当$\lambda=-18$时，$b_{n}=0(n\in N^{*})$，此时$\{b_{n}\}$不是等比数列；当$\lambda\neq-18$时，$b_{1}=-(\lambda+18)\neq0$，由$b_{n+1}=-\frac{2}{3}b_{n}$，可知$b_{n}\neq0$，所以$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=-\frac{2}{3}(n\in N^{*})$，此时$\{b_{n}\}$是首项为$-(\lambda+18)$，公比为$-\frac{2}{3}$的等比数列.