《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 设 $ M $，$ m $ 分别是函数 $ f(x) $ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，若 $ M = m $，则 $ f'(x) $ （ ）

A.等于 $ 0 $
B.小于 $ 0 $
C.等于 $ 1 $
D.不确定

答案： 1．D

2. 函数 $ f(x) = x^4 - 4x(|x| ＜ 1) $ （ ）

A.有最大值，无最小值
B.既有最大值，又有最小值
C.无最大值，有最小值
D.既无最大值，又无最小值

答案： 2．C

3. 函数 $ y = \frac{\ln x}{x} $ 的最大值是 （ ）

A.$ \mathrm{e}^{-1} $
B.$ \mathrm{e} $
C.$ \mathrm{e}^2 $
D.$ \frac{10}{3} $

答案： 3．A

4. 函数 $ f(x) = x - \sqrt{2} \sin x $，$ x \in [0, \pi] $ 的最大值、最小值分别是 （ ）

A.$ \pi $，$ 0 $
B.$ \frac{\pi}{2} - \sqrt{2} $，$ 0 $
C.$ \pi $，$ \frac{\pi}{4} - 1 $
D.$ 0 $，$ \frac{\pi}{4} - 1 $

答案： A（这里按照选项对应实际应为题目中的C选项对应的内容，但按照要求选择标识）即C（直接写C）。

5. 已知函数 $ f(x) $，$ g(x) $ 均为 $[a,b]$ 上的可导函数，在 $[a,b]$ 上连续且 $ f'(x) ＜ g'(x) $，则 $ f(x) - g(x) $ 的最大值是 （ ）

A.$ f(a) - g(a) $
B.$ f(b) - g(b) $
C.$ f(a) - g(b) $
D.$ f(b) - g(a) $

答案： A

6. 设直线 $ x = t $ 与函数 $ f(x) = x^2 $，$ g(x) = \ln x $ 的图象分别交于点 $ M $，$ N $，则当 $ |MN| $ 达到最小值时 $ t $ 的值是 （ ）

A.$ 1 $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{5}}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： D

7. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x - 1 $，若对于区间 $[-3,2]$ 上的任意 $ x_1 $，$ x_2 $，都有 $ |f(x_1) - f(x_2)| \leq t $，则实数 $ t $ 的最小值是 （ ）

A.$ 20 $
B.$ 18 $
C.$ 3 $
D.$ 0 $

答案： A

8. （多选）若函数 $ f(x) = \mathrm{e}^x - 2x + 3 $，则 （ ）

A.函数 $ f(x) $ 只有极大值，没有极小值
B.函数 $ f(x) $ 只有最大值，没有最小值
C.函数 $ f(x) $ 只有极小值，没有极大值
D.函数 $ f(x) $ 只有最小值，没有最大值

答案： CD

9. （多选）下列关于函数 $ f(x) = (2x - x^2)\mathrm{e}^x $ 的判断，正确的是 （ ）

A.$ f(x) ＞ 0 $ 的解集为 $ \{x | 0 ＜ x ＜ 2\} $
B.$ f(-\sqrt{2}) $ 是极小值，$ f(\sqrt{2}) $ 是极大值
C.$ f(x) $ 没有最小值，也没有最大值
D.$ f(x) $ 有最大值，没有最小值

答案： ABD

10. 已知 $ f(x) = 2x^3 - 6x^2 + m $（$ m $ 为常数）在 $[-2,2]$ 上有最大值 $ 3 $，那么此函数在 $[-2,2]$ 上的最小值是______.

答案： 3．(-4,-2)

11. （2025·吉林长春高二阶段检测）已知函数 $ f(x) = \ln x - x + k $ 在 $[1,\mathrm{e}]$ 上的最大值是 $ 2 $，则 $ f(k) = $______.

答案： $\ln 3$

12. 若函数 $ f(x) = x\mathrm{e}^x $ 的图象都不在直线 $ y = f(x_0) $ 的下方，则 $ f(x_0) = $______.

答案： $4．-\frac{1}{e^2}$