《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 下列求导运算中，正确的是（ ）

A.$(x+\frac{1}{x})'=1+\frac{1}{x^{2}}$
B.$(\log_{2}x)'=\frac{1}{x\ln 2}$
C.$(3^{x})'=3^{x}\log_{3}e$
D.$(x^{2}\cos x)'=-2x\sin x$

答案： 1. B

2. （2025·河北邯郸模拟）曲线 $y = e^{x}\sin x$ 在 $x = 0$ 处的切线斜率为（ ）

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$

答案： 2. B

3. 已知函数 $f(x)=\frac{5}{x}+\ln x$，则 $f'(x)\lt0$ 的解集为（ ）

A.$(-\infty,5)$
B.$(0,5)$
C.$(5,+\infty)$
D.$(0,+\infty)$

答案： 3. B

4. 已知曲线 $f(x)=\frac{x^{2}+a}{x + 1}$ 在点 $(1,f(1))$ 处切线的倾斜角为 $\frac{3\pi}{4}$，则实数 $a$ 等于（ ）

A.$1$
B.$-1$
C.$7$
D.$-7$

答案： 4. D

5. 已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，且 $f(x)=2xf'(\frac{\pi}{6})+\cos x$，则 $f(\frac{\pi}{6})$ 等于（ ）

A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$

答案： 5. C

6. 已知下列图象中有一个是函数 $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+ax^{2}+(a^{2}-1)x + 1(a\in\mathbf{R}$，且 $a\neq0)$ 的导函数的图象，则 $f(-1)$ 等于（ ）




A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{7}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$

答案： 6. B

7. 若函数 $f(x)=a\cos x$ 与 $g(x)=x^{2}+bx + 3$ 的图象在交点 $(0,m)$ 处有公切线，则 $a + b + m$ 等于（ ）

A.$6$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： 7. A

8. （多选）若函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则函数 $f(x)$ 的解析式可能为（ ）

A.$f(x)=3\cos x$
B.$f(x)=x^{3}+x$
C.$f(x)=x+\frac{1}{x}$
D.$f(x)=e^{x}+x$

答案： 8. AC

9. （多选）已知函数 $f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$ 的图象在点 $(m,f(m))$ 处的切线为 $l_{m}$，则（ ）

A.$l_{m}$ 的斜率的最小值是 $-2$
B.$l_{m}$ 的斜率的最小值是 $-3$
C.$l_{0}$ 的方程为 $y = 1$
D.$l_{-1}$ 的方程为 $y = 9x + 6$

答案： 9. BD

10. 已知函数 $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}x^{3}-4x,x\lt0,\\-\frac{1}{x}-\ln x,0\lt x\lt1,\end{cases}$ 若 $f'(a)=12$，则实数 $a$ 的值为______。

答案： 10. $-4$

11. 如图所示，已知 $y = f(x)$ 是可导函数，直线 $l$ 是曲线 $y = f(x)$ 在 $x = 4$ 处的切线，令 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$，则 $g'(4)=$______。

答案： 11. $\frac{1}{4}$

12. 1696 年，洛必达在他的著作中创造了在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限。如：$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\sin x)'}{x'}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$。据此可知，$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{1-\cos x}=$______。

答案： 12. $2$