《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

15. 已知函数 $ f(x) = \frac{\ln x + k}{e^{x}} $（$ k $ 为常数，$ e $ 为自然对数的底数），曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (1,f(1)) $ 处的切线与 $ x $ 轴平行.
(1) 求实数 $ k $ 的值；
(2) 求函数 $ f(x) $ 的单调区间.

答案： 15.
(1)$k=1$
(2)单调递增区间为$(0,1)$，单调递减区间为$(1,+\infty)$

16. 已知函数 $ f(x) = \ln x - \frac{(x - 1)^{2}}{2} $.
(1) 求函数 $ f(x) $ 的单调递增区间；
(2) 证明：当 $ x ＞ 1 $ 时，$ f(x) ＜ x - 1 $.

答案： 16.
(1)单调递增区间为$(0,2)$
(2)证明：令$g(x)=f(x)-(x-1)=\ln x-\frac{(x-1)^{2}}{2}-(x-1)=\ln x-\frac{x^{2}-2x + 1}{2}-x + 1=\ln x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}$.则$g'(x)=\frac{1}{x}-x=\frac{1 - x^{2}}{x}$.当$x＞1$时，$g'(x)＜0$，所以$g(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减，又$g(1)=0$，所以当$x＞1$时，$g(x)＜g(1)=0$，即$f(x)＜x - 1$.