《2025年全校核心素养测评高中数学选择性必修第二册人教版》

12. 中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，遂千五百二十岁$·s·s$生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历.”某老年公寓住有 $ 19 $ 位老人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为________岁.

答案： 12. 89

13. 设等差数列的前$n$项和为$S_{n}$.已知$a_{3}=12$，$S_{12}＞0$，$S_{13}＜0$.
（1）求公差$d$的取值范围；
（2）指出$S_{1}$，$S_{2}$，$·s$，$S_{12}$中哪一个值最大，并说明理由.

答案： （1）$-\frac{24}{7} ＜ d ＜ -3$；（2）$S_6$。

14. 某抗洪指挥部接到预报，$24$小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 $ 20 $ 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 $ 24 $ 小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 $ 20 $ 分钟有一辆翻斗车到达，一共可调集 $ 25 $ 辆，那么在 $ 24 $ 小时内能否筑成第二道防线？

答案： 设从第一辆车投入工作为计时起点，第$n$辆车工作时间为$a_{n}$小时，
由题意，第一辆车工作$24$小时，以后每$20$分钟（即$\frac{1}{3}$小时）有一辆车投入工作，则第$25$辆车在$24 - \frac{1}{3} × (25 - 1) = 24 - 8 = 16$（小时）后投入工作，
所以$a_{1} = 24$，$a_{2} = 24 - \frac{1}{3} = 23\frac{2}{3}$，$·s$，$a_{n} = 24 - \frac{1}{3}(n - 1)=\frac{73 - n}{3}$，
令$a_{n} \geq 0$，即$\frac{73 - n}{3} \geq 0$，解得$n \leq 73$，又$n$为正整数，所以$n \leq 73$，当$n = 73$时，$a_{73} = \frac{73 - 73}{3} = 0$，即第$73$辆车工作时长为$0$，实际投入工作的车最多有$25$辆（$n$从$1$到$25$），
各车的工作时间$a_{n}$构成等差数列$\{ a_{n}\}$，其中$a_{1} = 24$，$a_{25} = 24 - \frac{1}{3} × (25 - 1) = 16$，
根据等差数列求和公式$S_{n}=\frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$，可得$25$辆车总的工作时间$S_{25} = \frac{25 × (24 + 16)}{2} = 500$（小时），
而$20$台翻斗车，平均每辆车工作$24$小时的总工作时间为$20 × 24 = 480$（小时），
因为$500 ＞ 480$，
所以在$24$小时内能筑成第二道防线。

15. 已知$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，若对任意的$n\in \mathbf{N}^{*}$，均有$S_{6}\leqslant S_{n}$成立，则$\frac{a_{10}}{a_{7}}$的值不可能为（ ）

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： A

16. （2024·江苏南通高二期中）已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{4}=10$.
（1）若$S_{20}=590$，求$\{ a_{n}\}$的公差；
（2）若$a_{1}\in \mathbf{Z}$，且$S_{7}$是数列$\{ S_{n}\}$中唯一的最大项，求$a_{1}$所有可能的值.

答案： （1）$3$；（2）$18,19$。