《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

24. (12 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,点$C(2,0)$,点$B(0,4)$,反比例函数$y = \frac{k}{x}(x＞0)的图象经过点A$。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线$OA向上平移m个单位后经过反比例函数y = \frac{k}{x}(x＞0)图象上的点(1,n)$,求$m$,$n$的值。

答案：
(1)过点$A$作$AD\perp x$轴于点$D$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，
所以$\angle ACD + \angle BCO = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BOC = 90^{\circ}$，
所以$\angle BCO + \angle OBC = 90^{\circ}$。
所以$\angle ACD = \angle OBC$。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBO$中，
$\begin{cases}\angle ADC=\angle COB = 90^{\circ},\\\angle ACD = \angle CBO,\\AC = BC.\end{cases}$
所以$\triangle ACD\cong\triangle CBO(AAS)$。
已知$C(2,0)$，$B(0,4)$，则$OC = 2$，$OB = 4$。
由全等可知$CD = OB = 4$，$AD = OC = 2$。
所以$OD=OC + CD=2 + 4 = 6$，则$A$点坐标为$(6,2)$。
把$A(6,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 12$。
所以反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}(x\gt0)$。
(2)设直线$OA$的解析式为$y = k_{1}x$，把$A(6,2)$代入得$2 = 6k_{1}$，解得$k_{1}=\frac{1}{3}$，所以直线$OA$的解析式为$y=\frac{1}{3}x$。
因为点$(1,n)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x\gt0)$的图象上，所以$n=\frac{12}{1}=12$。
设平移后的直线解析式为$y=\frac{1}{3}x + m$，把$(1,12)$代入得$12=\frac{1}{3}+m$，解得$m=\frac{35}{3}$。
综上，$m=\frac{35}{3}$，$n = 12$。