《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

22. (8 分)某数学活动小组组织一次登山活动,他们从山脚下 $ A $ 点出发,沿斜坡 $ AB $ 到达 $ B $ 点,再从 $ B $ 点沿斜坡 $ BC $ 到达山顶 $ C $ 点,路线如图所示.斜坡 $ AB $ 的长为 390 m,斜坡 $ BC $ 的长为 200 m,在 $ B $ 点测得 $ C $ 点的仰角为 $ 30^{\circ} $.已知山顶 $ C $ 处的高度是 250 米.
(1) 求斜坡上 $ B $ 点的高度;
(2) 求斜坡 $ AB $ 的坡度.

答案：
(1) 过点C作CD⊥AM于点D，过点B作BE⊥AM于点E，CF⊥BE延长线于点F，则CD=250米，BE为B点高度，设BE=h。
在Rt△BFC中，∠CBF=30°，BC=200米，
∴CF=BC·sin30°=200×1/2=100米。
∵CF=CD-BE=250-h，
∴250-h=100，解得h=150。
故B点高度为150米。
(2) 设AB水平距离为x，AB=390米，垂直高度为150米，
由勾股定理得x²+150²=390²，
x²=390²-150²=(390-150)(390+150)=240×540=129600，
∴x=360米。
斜坡AB坡度=垂直高度:水平距离=150:360=5:12。
(1) 150米；
(2) 5:12。

23. (10 分)在一次测量物体高度的数学实践活动中,小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量.如图,他先在点 $ B $ 处安置测倾器,于点 $ A $ 处测得路灯 $ MN $ 顶端的仰角为 $ 10^{\circ} $,再沿 $ BN $ 方向前进 10 m,到达点 $ D $ 处,于点 $ C $ 处测得路灯 $ PQ $ 顶端的仰角为 $ 27^{\circ} $.若测倾器的高度为 1.2 m ($ AB = CD = 1.2 $ m),每相邻两根灯柱之间的距离相等,求路灯的高度.
(结果精确到 0.1 m.参考数据: $ \sin 10^{\circ} \approx 0.17 $, $ \cos 10^{\circ} \approx 0.98 $, $ \tan 10^{\circ} \approx 0.18 $, $ \sin 27^{\circ} \approx 0.45 $, $ \cos 27^{\circ} \approx 0.89 $, $ \tan 27^{\circ} \approx 0.51 $)

答案：

解：过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，

设CE=x，

在Rt△CPE中，PE=x•tan27°≈0.51x，

∵BD=10米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，

∴AE=(x+10)米，AF=2(x+10)米，

在Rt△AMF中，MF=2(x+10)•tan10°≈0.36(x+10)米，

∵MF=PE，

∴0.51x=0.36(x+10)，解得：x=24，

∴PE≈0.51×24=12.24(米)，

∴PQ=PE+EQ=PE+AB=12.24+1.2=13.44≈13.4(米)，

答：路灯的高度约为13.4米．