《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

18. (10 分)如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,已知 $ \angle C = 90^{\circ} $,$ D $ 是 $ BC $ 边上一点,$ AC = 6 $,$ CD = 3 $,$ \angle ADC = \alpha $.
(1)试写出角 $ \alpha $ 的正弦、余弦、正切值；
(2)若 $ \angle B $ 与 $ \angle ADC $ 互余,求 $ BD $ 及 $ AB $ 的长.

答案：
(1)
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$CD = 3$。
根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36 + 9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
$\sin\alpha=\frac{AC}{AD}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
$\cos\alpha=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
$\tan\alpha=\frac{AC}{CD}=\frac{6}{3}=2$。
(2)
因为$\angle B+\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle B = 90^{\circ}-\angle ADC$，则$\sin B=\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\sin B=\frac{AC}{AB}$，已知$AC = 6$，$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以$AB=\frac{AC}{\sin B}=\frac{6}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=6\sqrt{5}$。
根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{5})^{2}-6^{2}}=\sqrt{180 - 36}=\sqrt{144}=12$。
又因为$CD = 3$，所以$BD=BC - CD=12 - 3=9$。
综上，
(1)$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\tan\alpha = 2$；
(2)$BD = 9$，$AB = 6\sqrt{5}$。