《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

22. (8 分)如图,已知抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 经过 $ A(2,0) $,$ B(0,-6) $ 两点,其对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ C $.
(1)求该抛物线和直线 $ BC $ 的表达式；
(2)设抛物线与直线 $ BC $ 相交于点 $ D $,连接 $ AB $,$ AD $,求 $ \triangle ABD $ 的面积.

答案： （1）将$A(2,0)$，$B(0,-6)$代入$y = -\frac{1}{2}x^{2} + bx + c$中，得：
$\begin{cases}-2 + 2b + c = 0,\\c = -6.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}b = 4,\\c = -6.\end{cases}$
所以抛物线表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 4x - 6$。
对称轴为$x = -\frac{4}{2×(-\frac{1}{2})} = 4$，则$C(4,0)$。
设直线$BC$表达式为$y = mx + n$，将$B(0,-6)$，$C(4,0)$代入得：
$\begin{cases}n = -6,\\4m + n = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}m=\frac{3}{2},\\n = -6.\end{cases}$
所以直线$BC$表达式为$y=\frac{3}{2}x - 6$。
（2）联立抛物线与直线$BC$的方程：
$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x^{2} + 4x - 6,\\y=\frac{3}{2}x - 6.\end{cases}$
消去$y$得：$-\frac{1}{2}x^{2} + 4x - 6=\frac{3}{2}x - 6$，
即$-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{2}x = 0$，
$-\frac{1}{2}x(x - 5)=0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 5$。
当$x = 5$时，$y=\frac{3}{2}×5 - 6=\frac{3}{2}$，所以$D(5,\frac{3}{2})$。
设对称轴与$x$轴交点为$C$，$A(2,0)$，$C(4,0)$，则$AC = 2$。
点$D$到$x$轴的距离$h=\frac{3}{2}$。
$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}$
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC×|y_B|=\frac{1}{2}×2×6 = 6$，
$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}× AC× h=\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
所以$S_{\triangle ABD}=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。
综上，答案为：（1）抛物线表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 4x - 6$，直线$BC$表达式为$y=\frac{3}{2}x - 6$；（2）$\frac{15}{2}$。

23. (8 分)某网店以每件 $ 50 $ 元的价格购进一批商品,若以单价 $ 70 $ 元销售,每月可售出 $ 320 $ 件. 根据调查发现：单价每上涨 $ 1 $ 元,该商品每月的销售量就减少 $ 10 $ 件.
(1)请写出每月该商品销售量 $ m $(单位：件)与单价上涨 $ x $(单位：元)间的函数关系式.
(2)求每月销售该商品的利润 $ y $(单位：元)与单价上涨 $ x $(单位：元)间的函数关系式.
(3)当单价定为多少元时,每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少元？

答案：
(1) $ m = 320 - 10x $
(2) 每件利润为 $ 70 + x - 50 = 20 + x $，销售量为 $ m = 320 - 10x $，则 $ y = (20 + x)(320 - 10x) = -10x^2 + 120x + 6400 $
(3) $ y = -10x^2 + 120x + 6400 $，其中 $ a = -10 ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴为 $ x = -\frac{120}{2 × (-10)} = 6 $。当 $ x = 6 $ 时，单价为 $ 70 + 6 = 76 $ 元，最大利润 $ y = -10 × 6^2 + 120 × 6 + 6400 = 6760 $ 元。
答：当单价定为76元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6760元。