《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

14. 如图,$ P $ 是抛物线 $ y = -x^{2} + x + 1 $ 在第一象限上的点,过点 $ P $ 分别向 $ x $ 轴和 $ y $ 轴引垂线,垂足分别为点 $ A $,$ B $,则四边形 $ OAPB $ 周长的最大值为4.

答案： 4

15. 某同学在用描点法画二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 图象时,列出了下面的表格：

由于粗心,他算错了一个 $ y $ 值,则这个错误的数值是-5.

答案： -5

16. 已知二次函数 $ y = 2x^{2} - bx + 1 $,当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则实数 $ b $ 的取值范围为$b \geqslant 4$.

答案： $b \geqslant 4$

17. (6 分)已知点 $ (0,3) $ 在二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象上,且当 $ x = 1 $ 时,函数 $ y $ 有最小值 $ 2 $.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如果两个不同的点 $ C(m,6) $,$ D(n,6) $ 也在这个函数的图象上,求 $ m + n $ 的值.(直接写出结果)

答案：
(1)
由题意，当$x = 1$时，$y$有最小值$2$，所以设二次函数的顶点式为$y = a(x - 1)^{2} + 2$。
又因为点$(0,3)$在二次函数图象上，代入得：
$3 = a(0 - 1)^{2} + 2$，
$3 = a + 2$，
解得$a = 1$。
因此，这个二次函数的表达式为$y = (x - 1)^{2} + 2$，或展开为$y = x^{2} - 2x + 3$。
(2)
由题意，点$C(m,6)$和$D(n,6)$在二次函数图象上，代入$y = x^{2} - 2x + 3$得：
$6 = m^{2} - 2m + 3$，
$6 = n^{2} - 2n + 3$，
整理得：
$m^{2} - 2m - 3 = 0$，
$n^{2} - 2n - 3 = 0$，
根据二次方程的性质，$m$和$n$是方程$x^{2} - 2x - 3 = 0$的两个不相等的实数根。
由根与系数的关系，得$m + n = 2$。