《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

18. (6分)若点 $ M(m,n) $ 是抛物线 $ y = -2x^{2} + 2x - 3 $ 上的点,求 $ m - n $ 的最小值.

答案： 答题卡：
因为点$M(m,n)$是抛物线$y = -2x^{2} + 2x - 3$上的点，
所以$n = -2m^{2} + 2m - 3$，
则$m - n = m - (-2m^{2} + 2m - 3)$
$= 2m^{2} - m + 3$
$= 2(m - \frac{1}{4})^{2} + \frac{23}{8}$，
因为$a=2＞0$，所以该函数有最小值，
当$m = \frac{1}{4}$时，$m - n$取得最小值$\frac{23}{8}$，
所以$m - n$的最小值为$\frac{23}{8}$。

19. (8分)如图,一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数且 $ k \neq 0 $)的图象交于 $ A(-1,a) $, $ B $ 两点,与 $ x $ 轴交于点 $ C $.
(1) 求此反比例函数的表达式;
(2) 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,且 $ S_{\triangle ACP} = \frac{3}{2}S_{\triangle BOC} $,求点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1) 把$A(-1,a)$代入$y = x + 4$，得$a=-1 + 4=3$，则$A(-1,3)$。
把$A(-1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=-3$，所以反比例函数表达式为$y =-\frac{3}{x}$。
(2) 联立$\begin{cases}y = x + 4\\y=-\frac{3}{x}\end{cases}$，$x + 4=-\frac{3}{x}$，$x^{2}+4x + 3 = 0$，$(x + 1)(x + 3)=0$，解得$x=-1$或$x=-3$。
当$x = - 3$时，$y=-3 + 4 = 1$，所以$B(-3,1)$。
在$y = x + 4$中，令$y = 0$，$x=-4$，则$C(-4,0)$。
$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×4×1 = 2$。
因为$S_{\triangle ACP}=\frac{3}{2}S_{\triangle BOC}$，所以$S_{\triangle ACP}=3$。
设$P(x,0)$，则$\frac{1}{2}×|x + 4|×3 = 3$，$|x + 4|=2$。
$x+4 = 2$或$x + 4=-2$，解得$x=-2$或$x=-6$。
所以$P$点坐标为$(-2,0)$或$(-6,0)$。