《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

23. (10 分)如图,已知正方形纸板 ABCD 的边长为 10 cm,AD,BC 与投影面 $ \beta $ 平行,AB,CD 与投影面不平行,正方形在投影面 $ \beta $ 上的正投影为 $ A_1B_1C_1D_1 $. 若 $ \angle ABB_1 = 45^{\circ} $,求投影面 $ A_1B_1C_1D_1 $ 的面积.

答案： 过点A作AH⊥BB₁于H，
∵AD、BC与投影面β平行，
∴A₁D₁=AD=10cm，B₁C₁=BC=10cm，且A₁D₁//B₁C₁.
∵AA₁⊥β，BB₁⊥β，
∴AA₁//BB₁，四边形AA₁B₁H为矩形，
∴AH=A₁B₁，∠AHB=90°.
在Rt△AHB中，∠ABB₁=45°，AB=10cm，
∠ABH=45°，
∴AH=BH.
设AH=BH=x，由勾股定理得：x²+x²=10²，
解得x=5√2，即A₁B₁=5√2cm.
∵AD⊥AB，AD//A₁D₁，AB的投影为A₁B₁，
∴A₁D₁⊥A₁B₁，四边形A₁B₁C₁D₁为矩形.
∴投影面积=A₁B₁·A₁D₁=5√2×10=50√2cm².
50√2 cm²