《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

24. （10 分）如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为点 G，OG : OC = 3 : 5，AB = 8.
（1）求⊙O 的半径.
（2）点 E 为圆上一点，∠ECD = 15°，将$\overset{\frown}{CE}$沿弦 CE 翻折，交 CD 于点 F，求图中阴影部分的面积.

答案： （1）连接OA，设⊙O的半径为r.
∵CD是直径，AB⊥CD于G，
∴AG=AB/2=4.
∵OG:OC=3:5，OC=r，
∴OG=3r/5.
在Rt△OAG中，OA²=OG²+AG²，即r²=(3r/5)²+4².
解得r²=25，
∴r=5.
（2）连接OE，
∵OC=OE，∠ECD=15°，
∴∠OEC=15°，∠COE=180°-2×15°=150°.
翻折弧CE后，点O的对称点为O'，则O'C=O'E=5，∠CO'E=150°.
∵F在CD上且在翻折后的弧上，
∴O'F=5.
在△O'CF中，O'C=O'F=5，∠O'CF=30°，
∴∠CO'F=120°.
阴影部分面积=扇形O'CF面积-△O'CF面积.
扇形O'CF面积=120°/360°×π×5²=25π/3.
△O'CF面积=1/2×5×5×sin120°=25√3/4.
∴阴影部分面积=25π/3 -25√3/4.
（1）5；（2）25π/3 -25√3/4.