《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

21. （10 分）如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为 $ AB $，$ BC $ 两部分，小明同学在 $ C $ 点测得雪道 $ BC $ 的坡度 $ i = 1:2.4 $，在 $ A $ 点测得 $ B $ 点的俯角 $ \angle DAB = 30^{\circ} $.雪道 $ AB $ 长为 270 m，雪道 $ BC $ 长为 260 m.
(1) 求该滑雪场的高度 $ h $；
(2) 已知要用两种不同的造雪设备来满足滑雪场对于雪量和雪质的要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少 $ 35 $ m³，且甲设备造雪 $ 150 $ m³ 所用的时间与乙设备造雪 $ 500 $ m³ 所用的时间相等，求甲、乙两种设备每小时的造雪量.

答案：
(1) 过点B作AB的垂线，设AB段垂直高度为$h_1$，BC段垂直高度为$h_2$。
在$Rt\triangle$中，$\angle DAB = 30°$，$AB = 270m$，
$h_1 = AB \cdot \sin30° = 270 × \frac{1}{2} = 135m$。
BC段坡度$i = 1:2.4$，设$h_2 = k$，水平距离为$2.4k$，
由勾股定理：$k^2 + (2.4k)^2 = 260^2$，
$6.76k^2 = 67600$，$k = 100$，即$h_2 = 100m$。
滑雪场高度$h = h_1 + h_2 = 135 + 100 = 235m$。
(2) 设甲设备每小时造雪量为$x m^3$，则乙设备为$(x + 35)m^3$。
由题意：$\frac{150}{x} = \frac{500}{x + 35}$，
$150(x + 35) = 500x$，
$350x = 5250$，$x = 15$。
乙设备：$x + 35 = 50$。
(1) $235m$；
(2) 甲$15m^3/h$，乙$50m^3/h$。

22. （12 分）如图，抛物线 $ y = x^{2}+bx + c(b,c $ 是常数)的顶点为 $ C $，与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，$ A(1,0) $，$ AB = 4 $，点 $ P $ 为线段 $ AB $ 上的动点，过 $ P $ 作 $ PQ // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ Q $.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 求 $ \triangle CPQ $ 面积的最大值，并求此时 $ P $ 点坐标.

答案：
(1)
已知$A(1,0)$，$AB = 4$，则$B$点坐标为$( - 3,0)$。
把$A(1,0)$，$B(-3,0)$代入$y = x^{2}+bx + c$得$\begin{cases}1 + b + c = 0\\9 - 3b + c = 0\end{cases}$
两式相减得：$(9 - 3b + c)-(1 + b + c)=0$，即$8-4b = 0$，解得$b = 2$。
把$b = 2$代入$1 + b + c = 0$，得$1+2 + c = 0$，$c=-3$。
所以抛物线表达式为$y=x^{2}+2x - 3$。
(2)
由$y=x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4$，得顶点$C(-1,-4)$。
设$P(m,0)(-3\leqslant m\leqslant1)$，因为$PQ// BC$，则$\triangle APQ\sim\triangle ABC$。
$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AB}$，$BC=\sqrt{(-1+3)^{2}+(-4 - 0)^{2}}=2\sqrt{5}$，$AP=m - 1$，$AB = 4$。
所以$PQ=\frac{m - 1}{4}×2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}(m - 1)$。
点$Q$到$x$轴距离$h$与点$C$到$x$轴距离$4$的比等于$\frac{AQ}{AC}$，$\frac{AQ}{AC}=\frac{AP}{AB}=\frac{m - 1}{4}$，则$h = 4×\frac{m - 1}{4}=m - 1$（取绝对值相关，这里$m-1\lt0$，距离为$1 - m$）。
$S_{\triangle CPQ}=S_{\triangle APC}-S_{\triangle APQ}$
$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}× AP×4=\frac{1}{2}×(m - 1)×4×(-1)$（$AP$对应高为$C$到$x$轴距离$4$，$AP$长度$m - 1$为负，这里用绝对值计算面积$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}×\vert m - 1\vert×4 = 2(1 - m)$）
$S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}× AP× h=\frac{1}{2}×(m - 1)×(1 - m)×(-1)=\frac{1}{2}(1 - m)^{2}$
$S_{\triangle CPQ}=2(1 - m)-\frac{1}{2}(1 - m)^{2}$
令$t = 1 - m$，$0\leqslant t\leqslant4$，则$S=-\frac{1}{2}t^{2}+2t=-\frac{1}{2}(t - 2)^{2}+2$。
当$t = 2$时，$S_{max}=2$，此时$1 - m=2$，$m=-1$。
所以$\triangle CPQ$面积最大值为$2$，$P$点坐标为$( - 1,0)$。