《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

23. (10 分)如图,点$A是反比例函数y = \frac{k}{x}(k＜0)$图象上的一点,过点$A作AB\perp x轴于点B$,连接$OA$,$\triangle AOB$的面积为 2,点$A的坐标为( - 1,m)$。若一次函数$y = ax + b的图象经过点A$,交双曲线的另一支于点$C(4,n)$,交$y轴于点D$。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若$P为y$轴上的一个动点,且$\triangle PAC$的面积为 5,求点$P$的坐标。

答案：
(1)
因为点$A(-1,m)$在$y = \frac{k}{x}(k\lt0)$上，且$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\vert k\vert = 2$，所以$k = - 4$，反比例函数表达式为$y =-\frac{4}{x}$。
把$x = - 1$代入$y =-\frac{4}{x}$，得$y = 4$，所以$A(-1,4)$。
把$C(4,n)$代入$y =-\frac{4}{x}$，得$n = - 1$，所以$C(4, - 1)$。
把$A(-1,4)$，$C(4, - 1)$代入$y = ax + b$，得$\begin{cases}-a + b = 4\\4a + b = - 1\end{cases}$，
两式相减得$5a=-5$，$a = - 1$，把$a = - 1$代入$-a + b = 4$得$b = 3$。
一次函数表达式为$y = - x + 3$。
(2)
在$y = - x + 3$中，令$x = 0$，则$y = 3$，所以$D(0,3)$。
设$P(0,y)$，$S_{\triangle PAC}=S_{\triangle APD}+S_{\triangle CPD}$。
$S_{\triangle APD}=\frac{1}{2}\vert y - 3\vert×1$，$S_{\triangle CPD}=\frac{1}{2}\vert y - 3\vert×4$，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}\vert y - 3\vert×(1 + 4)=5$。
即$\frac{5}{2}\vert y - 3\vert = 5$，$\vert y - 3\vert = 2$。
当$y - 3 = 2$时，$y = 5$；当$y - 3 = - 2$时，$y = 1$。
所以$P$点坐标为$(0,1)$或$(0,5)$。