《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

22. （8 分）如图 1，⊙O 的半径为 r（r ＞ 0），若点 P'在射线 OP 上，满足 OP'·OP = r²，则称点 P'是点 P 关于⊙O 的“反演点”. 如图 2，⊙O 的半径为 4，点 B 在⊙O 上，∠BOA = 60°，OA = 8，若点 A'，B'分别是点 A，B 关于⊙O 的反演点，求 A'B'的长.

答案： 解：
已知$⊙O$半径$r = 4$，$OA = 8$，点$A'$是点$A$关于$⊙O$的反演点，根据$OP'\cdot OP=r^{2}$，则$OA'\cdot OA = 4^{2}=16$，所以$OA'=\frac{16}{OA}=\frac{16}{8}=2$。
因为点$B$在$⊙O$上，所以$OB = r = 4$，点$B'$是点$B$关于$⊙O$的反演点，则$OB'\cdot OB = 4^{2}=16$，所以$OB'=\frac{16}{OB}=\frac{16}{4}=4$。
又因为$∠BOA = 60°$，$OB = 4$，$OA' = 2$，$OB' = 4$。
根据余弦定理$A'B'^{2}=OA'^{2}+OB'^{2}-2\cdot OA'\cdot OB'\cdot\cos∠BOA$，将$OA' = 2$，$OB' = 4$，$\cos∠BOA=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$代入可得：
$A'B'^{2}=2^{2}+4^{2}-2×2×4×\frac{1}{2}$
$=4 + 16-8$
$=12$
所以$A'B' = 2\sqrt{3}$。
综上，$A'B'$的长为$2\sqrt{3}$。

23. （8 分）如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点 F，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，连接 BD，CD.
（1）求证：BD = CD.
（2）请判断 B，E，C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. 并说明理由.

答案： （1）证明：
∵AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为F，
∴由垂径定理得BF=CF。
在△BDF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} BF=CF \\ ∠BFD=∠CFD=90° \\ DF=DF \end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴BD=CD。
（2）B，E，C三点在以D为圆心，DB为半径的圆上。理由如下：
∵BE平分∠ABC，设∠ABE=∠CBE=α。
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°（直径所对圆周角为直角），
∴∠EBD=∠ABD - ∠ABE=90° - α。
∵AD⊥BC，
∴∠BAF + ∠ABC=90°，
∵∠ABC=2α，
∴∠BAF=90° - 2α。
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB=∠BAF + ∠ABE=（90° - 2α） + α=90° - α。
∴∠EBD=∠DEB，
∴DE=DB。
由（1）知BD=CD，
∴DB=DE=DC。
∴B，E，C三点到点D的距离均为DB，
故B，E，C三点在以D为圆心，DB为半径的圆上。