《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

11. 如图,点 $I$是$\triangle ABC$的内心,$\angle BIC = 126^{\circ}$,则$\angle BAC =$72$^{\circ}$.

答案： 72

12. 如图,有一张圆心角为 $108^{\circ}$,半径为 $40$cm 的扇形纸片,小红剪去圆心角为$\theta$的部分扇形纸片后,将剩下的纸片制作成一个底面半径为 $10$cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠),则剪去的扇形纸片的圆心角$\theta$的值为18°.

答案： 18°

13. 如图,在矩形 $ABCD$中,$AB = 1$,$AD = \sqrt{2}$.以 $A$为圆心,$AD$的长为半径作弧交 $BC$边于点 $E$,则图中$\overset{\frown}{DE}$的弧长是$\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$

14. 如图,四边形 $ABCD$是矩形,$AB = 2$,$AD = \sqrt{2}$,以点 $A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交 $CD$于点 $E$,交 $AD$的延长线于点 $F$,则图中阴影部分的面积是π - 2√2.

答案： π - 2√2

15. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点 $C$在半圆上.点 $A$,$B$的读数分别为 $86^{\circ}$,$30^{\circ}$,则$\angle ACB$的度数是28°.

答案： 28°

16. 如图,在平行四边形 $ABCD$中,以对角线 $AC$为直径的$\odot O$分别交 $BC$,$CD$于点 $M$,$N$.若$AB = 13$,$BC = 14$,$CM = 9$,则 $MN$的长度为$\frac{39}{5}$.

答案： 1. 首先，连接$AM$，$AN$：
因为$AC$是$\odot O$的直径，所以$\angle AMC = \angle ANC=90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt\triangle ABM$中，$AB = 13$，$BC = 14$，$CM = 9$，则$BM=BC - CM=14 - 9 = 5$。
根据勾股定理$AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}$，可得$AM=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
再根据勾股定理求$AC$：$AC=\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$。
2. 然后，证明$\triangle CMN\sim\triangle CAB$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，则$\angle MCN=\angle B$。
又因为$\angle CMN+\angle CAN = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补），$\angle CAN+\angle CAB = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle CMN=\angle CAB$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle CMN\sim\triangle CAB$。
3. 最后，根据相似三角形的性质求$MN$：
由相似三角形的性质$\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{AC}$。
已知$AB = 13$，$CM = 9$，$AC = 15$，则$MN=\frac{CM\cdot AB}{AC}$。
把数值代入可得$MN=\frac{9×13}{15}=\frac{39}{5}$。
故$MN$的长度为$\frac{39}{5}$。

17. (6 分)如图,在$\odot O$中,弦 $CD$垂直于直径 $AB$,垂足为点 $E$,如果$\angle BAD = 30^{\circ}$,且 $BE = 2$,求弦 $CD$的长.

答案： $4\sqrt{3}$