《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

16. 如图，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (1,0) $，对称轴为直线 $ x = -1 $，结合图象得出下列结论：① $ ab ＞ 0 $ 且 $ c ＞ 0 $；② $ a + b + c = 0 $；③关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0) $ 的两根分别为 $ -3 $ 和 1；④若点 $ (-4,y_{1}) $，$ (-2,y_{2}) $，$ (3,y_{3}) $ 均在二次函数图象上，则 $ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $；⑤ $ 3a + c ＜ 0 $. 其中正确的是①②③.（填序号）

答案： ①②③

17. （6 分）如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 30^{\circ} $，$ \angle BCA = 45^{\circ} $，$ AC = 4 $，求 $ AB $ 的长.（参考数据： ）

答案： AB=4√2。

18. （10 分）小红在公园里看到喷泉，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究，测得喷水头 $ P $ 距地面 0.7 m，水柱在距喷水头水平距离 5 m 处达到最高，最高点距地面 3.2 m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $ y = a(x - h)^{2}+k $，其中 $ x $（单位：m）是水柱距喷水头的水平距离，$ y $（单位：m）是水柱距地面的高度.
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 小红爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离为 3 m，身高 1.6 m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

答案：
(1) 由题意，抛物线顶点为$(5,3.2)$，所以$h=5$，$k=3.2$，
抛物线的表达式为$y=a(x-5)^{2}+3.2$，
将点$P(0,0.7)$代入得：
$0.7=a(0-5)^{2}+3.2$，
$0.7=25a+3.2$，
$25a=-2.5$，
$a=-0.1$，
所以抛物线的表达式为$y=-0.1(x-5)^{2}+3.2$。
(2) 当$y=1.6$时，有：
$-0.1(x-5)^{2}+3.2=1.6$，
$-0.1(x-5)^{2}=-1.6$，
$(x-5)^{2}=16$，
$x-5=\pm4$，
$x=1$或$x=9$，
小红与爸爸的水平距离为：
$|3-1|=2$（m）或$|9-3|=6$（m），
故她与爸爸的水平距离为$2$m或$6$m。