《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

23. (10分)如图,$AB$是圆$O$的直径,$D,E$为圆$O$上位于$AB$异侧的两点,连接$BD$并延长至点$C$,使得$CD = BD$,连接$AC$交圆$O$于点$F$,连接$AE,DE,DF$.
(1) 求证:$AB = AC$.
(2) 设$DE$交$AB$于点$G$,若$DF = 4$,$\cos B=\frac{2}{3}$,$E$是弧$AB$的中点,求$EG\cdot ED$的值.

答案：
(1) 连接AD。
∵AB是⊙O的直径，D在⊙O上，
∴∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）。
∵CD=BD，
∴D为BC中点。
∵AD⊥BC且D为BC中点，
∴AD垂直平分BC。
∴AB=AC（垂直平分线上的点到两端点距离相等）。
(2) 连接AE。
∵E是弧AB中点，AB为直径，
∴弧AE=弧EB=90°，∠EAB=∠EDA=45°（等弧所对圆周角相等）。
∵∠AEG=∠DEA（公共角），
∴△EAG∽△EDA。
∴EG/EA=EA/ED，即EG·ED=EA²。
设AB=3k，在Rt△ABD中，cos B=BD/AB=2/3，
∴BD=2k，AD=√(AB²-BD²)=√5 k。
∵D为BC中点，BC=4k，AB=AC=3k。
由DF=4，结合圆与坐标运算（过程略）得k=2。
∵E是弧AB中点，EA=EB，OA=OE=3k/2=3，∠AOE=90°，
∴EA=√(OA²+OE²)=√(3²+3²)=3√2。
∴EA²=(3√2)²=18，即EG·ED=18。
(1) 证明完毕；
(2) 18。

24. (11分)有公共顶点$A$的正方形$ABCD$与正方形$AEGF$按如图1所示的方式放置,点$E,F$分别在边$AB$和$AD$上,连接$BF,DE$,$M$是$BF$的中点,连接$AM$交$DE$于点$N$.
【观察猜想】
(1) 线段$DE$与$AM$之间的数量关系是$DE=2AM$,位置关系是__________$DE\perp AM$;
【探究证明】
(2) 将图1中正方形$AEGF$绕点$A$顺时针旋转$45^{\circ}$,点$G$恰好落在边$AB$上(如图2),其他条件不变,线段$DE$与$AM$之间的数量及位置关系是否仍然成立? 并说明理由.

答案：
(1) $DE=2AM$，$DE\perp AM$
(2) 仍然成立，理由如下：
延长$AM$至$H$，使$MH=AM$，连接$BH$。
∵$M$是$BF$中点，
∴$BM=FM$。
在$\triangle BMH$和$\triangle FMA$中，$\left\{\begin{array}{l} BM=FM \\ \angle BMH=\angle FMA \\ MH=MA \end{array}\right.$，
∴$\triangle BMH\cong\triangle FMA(SAS)$，
∴$BH=AF$，$\angle H=\angle FAM$，
∴$BH// AF$。
∵四边形$AEGF$是正方形，
∴$AF=AE$，$AF\perp AE$，
∴$BH=AE$，$BH\perp AE$（
∵$BH// AF$）。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD=AB$，$\angle DAB=90°$。
∵$BH// AF$，$\angle FAG=45°$（旋转后$G$在$AB$上，$AG$为对角线），
∴$\angle ABH=180° - 45°=135°$。
∵$\angle DAE=\angle DAG + \angle GAE=90° + 45°=135°$，
∴$\angle DAE=\angle ABH$。
在$\triangle DAE$和$\triangle ABH$中，$\left\{\begin{array}{l} AD=AB \\ \angle DAE=\angle ABH \\ AE=BH \end{array}\right.$，
∴$\triangle DAE\cong\triangle ABH(SAS)$，
∴$DE=AH$，$\angle ADE=\angle BAH$。
∵$AH=2AM$（$H$为$AM$延长线且$MH=AM$），
∴$DE=2AM$。
∵$\angle BAH + \angle DAN=90°$（$\angle DAB=90°$），$\angle ADE=\angle BAH$，
∴$\angle ADE + \angle DAN=90°$，
∴$\angle AND=90°$，即$DE\perp AM$。
综上，$DE=2AM$且$DE\perp AM$仍然成立。

25. (14分)【问题提出】
在绿化公园时,需要安装一定数量的自动喷洒装置,定时喷水养护,某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪(如图1)中安装自动喷洒装置,为了既节约安装成本,又尽可能提高喷洒覆盖率,需要设计合适的安装方案.
说明:一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为$r(m)$的圆面.喷洒覆盖率$\rho=\frac{k}{s}$,$s$为待喷洒区域面积,$k$为待喷洒区域中的实际喷洒面积.
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.
【探索发现】
(1) 如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置,该方案的喷洒覆盖率$\rho=$$\frac{\pi}{4}$.
(2) 如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为$\frac{9}{2}\ m$的自动喷洒装置;如图4,设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置;……,以此类推,如图5,设计安装$n^{2}$个喷洒半径均为$\frac{9}{n}\ m$的自动喷洒装置.与(1)中的方案相比,采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案,能否提高喷洒覆盖率? 请判断并给出理由.
(3) 如图6,该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案,且使得该草坪的喷洒覆盖率$\rho = 1$.已知正方形$ABCD$各边上依次取点$F,G,H,E$,使得$AE = BF = CG = DH$,设$AE = x\ m$,$\odot O_{1}$的面积为$y\ m^{2}$,求$y$关于$x$的函数表达式,并求当$y$取得最小值时$r$的值.
【问题解决】
(4) 该公司现有喷洒半径为$3\sqrt{2}\ m$的自动喷洒装置若干个,至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率$\rho = 1$? (直接写出结果即可)

答案： 25.
(1) $\frac{\pi}{4}$
(2) 不能提高。理由：$n^2$个装置的总面积为$n^2 \cdot \pi \left(\frac{9}{n}\right)^2 = 81\pi$，与
(1)中单个圆面积相等，正方形面积$s=324$，故覆盖率$\rho=\frac{81\pi}{324}=\frac{\pi}{4}$，与
(1)相同。
(3) 设$E(0,x)$，$F(18-x,0)$，圆心$O_1\left(\frac{18-x}{2},\frac{x}{2}\right)$，半径$r=\sqrt{\left(\frac{18-x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2}$，则$y=\pi r^2=\frac{\pi(x^2-18x+162)}{2}$。当$x=9$时，$y$最小，此时$r=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。
(4) 9