《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

23. (12 分)如图,已知在 $ \triangle ABD $ 中,$ AC \perp BD $,$ BC = 8 $,$ CD = 4 $,$ \cos \angle ABC = \dfrac{4}{5} $,$ BF $ 为 $ AD $ 边上的中线.
(1)求 $ AC $ 的长；
(2)求 $ \tan \angle FBD $ 的值.

答案：
(1)
因为$AC\perp BD$，在$Rt\triangle ABC$中，$\cos\angle ABC = \frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，已知$BC = 8$。
设$BC = 4x$，$AB = 5x$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，则$AC=\sqrt{(5x)^{2}-(4x)^{2}} = 3x$。
由$BC = 4x = 8$，得$x = 2$，所以$AC = 6$。
(2)
过$F$点作$FG\perp BD$于$G$点。
因为$AC\perp BD$，$FG\perp BD$，所以$FG// AC$。
又因为$F$是$AD$中点，所以$FG$是$\triangle ACD$的中位线，则$FG=\frac{1}{2}AC = 3$，$CG=\frac{1}{2}CD = 2$。
已知$BC = 8$，$CD = 4$，则$BG=BC + CG=8 + 2=10$。
在$Rt\triangle FBG$中，$\tan\angle FBD=\frac{FG}{BG}=\frac{3}{10}$。
综上，
(1) $AC$的长为$6$；
(2) $\tan\angle FBD$的值为$\frac{3}{10}$。