《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

20. (8 分)已知抛物线 $ y = ax^{2} - 2ax - 8(a \neq 0) $ 经过点 $ (-2,0) $.
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)直线 $ l $ 交抛物线于点 $ A(-4,m) $,$ B(n,7) $($ n $ 为正数). 若点 $ P $ 在抛物线上且在直线 $ l $ 下方(不与点 $ A $,$ B $ 重合),分别求出点 $ P $ 的横坐标与纵坐标的取值范围.

答案：
(1) 将点$(-2,0)$代入$y=ax^2-2ax-8$，得$0=a(-2)^2-2a(-2)-8$，即$4a+4a-8=0$，解得$a=1$。故抛物线表达式为$y=x^2-2x-8$。
顶点横坐标为$x=-\frac{-2}{2×1}=1$，代入表达式得$y=1^2-2×1-8=-9$，顶点坐标为$(1,-9)$。
(2) 点$A(-4,m)$在抛物线上，代入得$m=(-4)^2-2(-4)-8=16$，故$A(-4,16)$。
点$B(n,7)$在抛物线上，代入得$7=n^2-2n-8$，即$n^2-2n-15=0$，解得$n=5$（$n=-3$舍去，因$n$为正数），故$B(5,7)$。
直线$l$过$A(-4,16)$，$B(5,7)$，设其方程为$y=kx+b$，代入得$\begin{cases}16=-4k+b\\7=5k+b\end{cases}$，解得$k=-1$，$b=12$，故$l:y=-x+12$。
点$P$在抛物线上且在$l$下方，即$x^2-2x-8＜-x+12$，化简得$x^2-x-20＜0$，解得$-4＜x＜5$。
抛物线$y=x^2-2x-8$在$(-4,5)$上，顶点$(1,-9)$为最小值点，当$x=-4$时$y=16$（取不到），故纵坐标范围为$-9\leq y＜16$。
(1) 函数表达式：$y=x^2-2x-8$；顶点坐标：$(1,-9)$。
(2) 横坐标取值范围：$-4＜x＜5$；纵坐标取值范围：$-9\leq y＜16$。

21. (8 分)已知二次函数与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,-3) $,顶点为 $ D $,求四边形 $ OCDB $ 的面积.

答案： 设二次函数的解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)$（$a\neq0$），
把$C(0, - 3)$代入$y = a(x + 1)(x - 3)$得：$-3=a(0 + 1)(0 - 3)$，
即$-3a=-3$，
解得$a = 1$，
所以二次函数解析式为$y=(x + 1)(x - 3)=x^{2}-2x - 3$，
将$y=x^{2}-2x - 3$配方得$y=(x - 1)^{2}-4$，
所以顶点$D$的坐标为$(1,-4)$，
过$D$作$DE\perp AB$于$E$，
则$E$点坐标为$(1,0)$，
$S_{四边形OCDB}=S_{梯形OCDE}+S_{\triangle DEB}$，
$S_{梯形OCDE}=\dfrac{(OC + DE)× OE}{2}=\dfrac{(3 + 4)×1}{2}=\dfrac{7}{2}$，
$S_{\triangle DEB}=\dfrac{BE× DE}{2}=\dfrac{(3 - 1)×4}{2}=4$，
$S_{四边形OCDB}=\dfrac{7}{2}+4=\dfrac{15}{2}= 7.5$。
故四边形$OCDB$的面积为$ \dfrac{15}{2}$（或$7.5$）。