《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

20. (8分)某商场购进一种单价为10元的商品,根据市场调查发现:如果以单价20元售出,那么每天可卖出30件,每降价1元,每天可多卖出5件.设每件商品降价 $ x $ 元,每天共销售 $ y $ 件,每天可获得利润 $ W $ 元.
(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式.
(2) 求 $ W $ 与 $ x $ 的函数关系式.(不必写出 $ x $ 的取值范围)
(3) 若所降价格 $ x $ 不低于4元时,销售这种商品每天获得的最大利润为多少?

答案： 答题卡：
(1) 解：根据题意，得 $y = 30 + 5x$。
(2) 解：根据题意，得$W = (20 - x - 10)(30 + 5x) = - 5x^{2} + 20x + 300$。
(3) 解：由（2）知 $W = - 5x^{2} + 20x + 300 = - 5(x - 2)^{2} + 320$，
$\because a = - 5 ＜ 0,$ 对称轴为 $x = 2,$
又 $\because x \geqslant 4,$
$\therefore$ 在对称轴右侧，$W$ 随 $x$ 增大而减小，
$\therefore$ 当 $x = 4$ 时，$W_{最大值} = - 5(4 - 2)^{2} + 320 = 300（元）$。
答：若所降价格 $x$ 不低于 4 元时，销售这种商品每天获得的最大利润为 300 元。

21. (10分)阅读下列材料,解答问题.
根据三角函数中常用公式 $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta $,求 $ \sin75^{\circ} $ 的值.
$ \sin75^{\circ} = \sin(30^{\circ} + 45^{\circ}) = \sin30^{\circ} × \cos45^{\circ} + \cos30^{\circ} × \sin45^{\circ} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $.
试用公式 $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \sin\beta - \sin\alpha \cdot \cos\beta $,求 $ \cos75^{\circ} $ 的值.

答案： $ \cos75^{\circ} = \cos(45^{\circ} + 30^{\circ}) $
$ = \cos45^{\circ} \cdot \cos30^{\circ} - \sin45^{\circ} \cdot \sin30^{\circ} $
$ = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} $
$ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $
综上，$ \cos75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $。