《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

24. (12 分)如图 1,直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + bx + c $ 经过 $ B $,$ C $ 两点,点 $ P $ 是抛物线上的一个动点,过点 $ P $ 作 $ PQ \perp x $ 轴,垂足为点 $ Q $,交直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $ 于点 $ D $. 设点 $ P $ 的横坐标为 $ m $.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若以 $ P $,$ D $,$ O $,$ C $ 为顶点的四边形是平行四边形,求点 $ Q $ 的坐标；
(3)如图 2,当点 $ P $ 位于直线 $ BC $ 上方的抛物线上时,过点 $ P $ 作 $ PE \perp BC $ 于点 $ E $,当 $ PE $ 取得最大值时,求点 $ P $ 的坐标,并求出 $ PE $ 的最大值.

答案：
(1) $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2 $；
(2) $ (2,0) $，$ (2+2\sqrt{2},0) $，$ (2-2\sqrt{2},0) $；
(3) $ P(2,3) $，$ PE_{max} = \frac{4\sqrt{5}}{5} $。