《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

24. (14分)如图,已知直线$y=\frac{4}{3}x+4$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$C$,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过$A,C$两点,且与$x$轴的另一个交点为$B$,对称轴为直线$x=-1$.
(1) 求抛物线的表达式;
(2) $D$是第二象限内抛物线上的动点,设点$D$的横坐标为$m$,求四边形$ABCD$面积$S$的最大值及此时$D$点的坐标;
(3) 若点$P$在抛物线对称轴上,是否存在点$P,Q$,使以点$A,C,P,Q$为顶点的四边形是以$AC$为对角线的菱形? 若存在,请求出$P,Q$两点的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) 对于直线$y=\frac{4}{3}x+4$，令$y=0$得$x=-3$，则$A(-3,0)$；令$x=0$得$y=4$，则$C(0,4)$。
抛物线对称轴为$x=-1$，$A(-3,0)$关于对称轴的对称点$B$的横坐标为$1$，即$B(1,0)$。设抛物线解析式为$y=a(x+3)(x-1)$，将$C(0,4)$代入得$4=a(3)(-1)\Rightarrow a=-\frac{4}{3}$。
故抛物线表达式为$y=-\frac{4}{3}(x+3)(x-1)=-\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x+4$。
(2) 设$D(m,n)$，$n=-\frac{4}{3}m^2-\frac{8}{3}m+4$，$m\in(-3,0)$。
四边形$ABCD$面积$S=\frac{1}{2}|4 - (4m - 3n)|$（坐标面积公式），代入$n$化简得$S=-2m^2 - 6m + 8$。
对称轴$m=-\frac{3}{2}\in(-3,0)$，当$m=-\frac{3}{2}$时，$S_{max}=-2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 6\left(-\frac{3}{2}\right)+8=\frac{25}{2}$。
此时$n=-\frac{4}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{8}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+4=5$，故$D\left(-\frac{3}{2},5\right)$。
(3) 存在。
$AC$中点$M\left(-\frac{3}{2},2\right)$，设$P(-1,p)$，则$Q(-2,4-p)$（中点坐标公式）。
$k_{AC}=\frac{4}{3}$，$k_{PQ}=2p - 4$，由$AC\perp PQ$得$\frac{4}{3}(2p - 4)=-1\Rightarrow p=\frac{13}{8}$。
故$P\left(-1,\frac{13}{8}\right)$，$Q\left(-2,\frac{19}{8}\right)$。
答案
(1) $y=-\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x+4$
(2) $S_{max}=\frac{25}{2}$，$D\left(-\frac{3}{2},5\right)$
(3) 存在，$P\left(-1,\frac{13}{8}\right)$，$Q\left(-2,\frac{19}{8}\right)$