《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

21. (8分)如图,正比例函数$y=\frac{1}{2}x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A$,过点$A$作$AB\perp y$轴于点$B$,$OB = 4$,点$C$在线段$AB$上,且$AC = OC$.
(1) 求$k$的值及线段$BC$的长;
(2) 点$P$为$y$轴正半轴上点$B$上方一点,当$\triangle POC$与$\triangle PAC$的面积相等时,请求出点$P$的坐标.

答案：
(1) 因为AB⊥y轴，OB=4，所以点B坐标为(0,4)，点A纵坐标为4。
将y=4代入正比例函数y=1/2x，得4=1/2x，解得x=8，故点A坐标为(8,4)。
点A在反比例函数y=k/x上，代入A(8,4)，得4=k/8，解得k=32。
设点C坐标为(c,4)，C在线段AB上，AB为从B(0,4)到A(8,4)的线段，AC=8-c，OC=√(c²+4²)。
由AC=OC，得8-c=√(c²+16)，两边平方：(8-c)²=c²+16，即64-16c+c²=c²+16，解得c=3。
BC长度为c-0=3。
(2) 设点P坐标为(0,p)，p＞4。
S△POC=1/2×OP×3=3p/2（OP=p，C到y轴距离为3）。
S△PAC=1/2×AC×(p-4)=1/2×5×(p-4)=5(p-4)/2（AC=5，P到AC距离为p-4）。
由面积相等，3p/2=5(p-4)/2，解得p=10。
故点P坐标为(0,10)。
(1) k=32，BC=3；
(2) P(0,10)

22. (9分)某电商在直播购物平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
(1) 若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,则每件售价应定为多少元?
(2) 已知某线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为保证市场竞争力,促进线下销售,该商家决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?

答案：
(1) 设每件售价应定为 $x$ 元，日销售量为 $y$ 件。
根据题意，原售价为60元时，日销售量为20件，每降低5元，日销售量增加10件，因此销售量与售价的关系为：
$y = 20 + \frac{60 - x}{5} × 10 = 140 - 2x$，
日利润为售价与成本价之差乘以销售量，即：
$(x - 40)(140 - 2x)$，
当日利润保持不变，即等于原利润 $(60 - 40) × 20 = 400$ 元时，有方程：
$(x - 40)(140 - 2x) = 400$，
展开并整理得：
$x^2 - 110x + 3000 = 0$，
解得 $x_1 = 50$，$x_2 = 60$（舍去，因为想尽快销售完，应选择更低售价）。
答：每件售价应定为50元。
(2) 设该商品需打 $z$ 折销售，即售价为 $62.5 × \frac{z}{10}$。
为保证市场竞争力，售价不超过50元，即：
$62.5 × \frac{z}{10} \leq 50$，
解得 $z \leq 8$。
答：该商品至少需打8折销售。