《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

21. (8 分)如图,在禁止捕鱼期间,某渔政执法大队在某海域巡逻,上午某一时刻在 $ A $ 处接到指挥部通知,在他们东北方向 $ 12 $ 海里的 $ B $ 处有一艘捕鱼船正沿南偏东 $ 75^{\circ} $ 方向以每小时 $ 10 $ 海里的速度航行,渔政执法队员立即乘坐巡逻船以每小时 $ 14 $ 海里的速度沿北偏东某一方向出发,在 $ C $ 处成功拦截捕鱼船,求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.

答案： 设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为$ t $小时。
在$\triangle ABC$中，$AB = 12$海里，巡逻船行驶距离$AC = 14t$海里，捕鱼船行驶距离$BC = 10t$海里。
由题意知：$B$在$A$的东北方向（北偏东$45°$），故$A$在$B$的南偏西$45°$方向；捕鱼船从$B$沿南偏东$75°$方向航行，因此$\angle ABC = 45° + 75° = 120°$。
根据余弦定理：$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\angle ABC$，代入得：
$(14t)^2 = 12^2 + (10t)^2 - 2 × 12 × 10t × \cos120°$
$\cos120° = -\frac{1}{2}$，化简得：
$196t^2 = 144 + 100t^2 - 2 × 12 × 10t × \left(-\frac{1}{2}\right)$
$196t^2 = 144 + 100t^2 + 120t$
整理得：
$96t^2 - 120t - 144 = 0$
两边同除以24：
$4t^2 - 5t - 6 = 0$
解方程：
$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{8} = \frac{5 \pm 11}{8}$
舍去负根，得$t = 2$。
答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为$2$小时。

22. (8 分)如图,某学校教学楼 $ AB $ 后方有一斜坡,已知斜坡 $ CD $ 的长为 $ 12\ m $,视角 $ \alpha $ 为 $ 60^{\circ} $,根据有关部门的规定,当 $ \angle \alpha \leq 39^{\circ} $ 时,才能避免滑坡危险. 学校为了消除安全隐患,决定对斜坡 $ CD $ 进行改造,在保持坡脚 $ C $ 不动的情况下,至少要把坡顶 $ D $ 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数. 参考数据：$ \sin 39^{\circ} \approx 0.63 $,$ \cos 39^{\circ} \approx 0.78 $,$ \tan 39^{\circ} \approx 0.81 $,$ \sqrt{2} \approx 1.41 $,$ \sqrt{3} \approx 1.73 $,$ \sqrt{5} \approx 2.24 $)

答案： 设原来斜坡的垂直高度为$h$，水平宽度为$x$。
在$Rt \bigtriangleup ACD$中，$\angle ACD = \alpha=60°$，$CD = 12\ m$。
因为$\sin\alpha=\frac{h}{CD}$，所以$h = CD\cdot\sin60^{\circ}=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx10.38\ m$。
因为$\cos\alpha=\frac{x}{CD}$，所以$x = CD\cdot\cos60^{\circ}=12×\frac{1}{2}=6\ m$。
设改造后坡顶$D$向后水平移动了$y$米，此时水平宽度为$(x + y)$米，垂直高度不变仍为$h$，且$\angle\alpha' = 39^{\circ}$。
在$Rt\bigtriangleup$中，$\tan\angle\alpha'=\frac{h}{x + y}$，即$\tan39^{\circ}=\frac{6\sqrt{3}}{6 + y}$。
已知$\tan39^{\circ}\approx0.81$，$6\sqrt{3}\approx10.38$，则$0.81=\frac{10.38}{6 + y}$。
$0.81(6 + y)=10.38$。
$4.86+0.81y = 10.38$。
$0.81y=10.38 - 4.86$。
$0.81y = 5.52$。
$y=\frac{5.52}{0.81}\approx6.81\approx7\ m$。
答：至少要把坡顶$D$向后水平移动$7$米才能保证教学楼的安全。